분수 부등식 귀납법

다음은 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{1 \cdot 2}{n + 1} + \frac{2 \cdot 3}{n + 2} + \frac{3 \cdot 4}{n + 3} + \cdots + \frac{n ( n + 1 )}{n + n} < \frac{\left( n + 1 \right) ^{2}}{4}$$\cdots$(*) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. 부등식 (*)의 좌변을 $S _{n}$이라 하자 (ⅰ) $n = 2$일 때, (좌변)$= S _{2} = \square {( \text{가} )}$ , (우변)$\displaystyle = \frac{9}{4}$이므로 (*)은 성립한다. (ⅱ) $n = m ( m = 2 , 3 , 4 , \cdots )$일 때 (*)이 성립한다고 가정하자. $\displaystyle S _{m} = \frac{1 \cdot 2}{m + 1} + \frac{2 \cdot 3}{m + 2} + \frac{3 \cdot 4}{m + 3} + \cdots + \frac{m ( m + 1 )}{m + m}$ 이고, $\displaystyle S _{m + 1} = \frac{1 \cdot 2}{( m + 1 ) + 1} + \frac{2 \cdot 3}{( m + 1 ) + 2} + \cdots$ $\displaystyle + \frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{( m + 1 ) + m + 1}$ 이므로 $S _{m + 1} - S _{m}$ $\displaystyle = - 2 \left( \frac{1}{m + 1} + \frac{2}{m + 2} + \frac{3}{m + 3} + \cdots + \frac{m}{2 m} \right)$ $\displaystyle + \square {( \text{나} )} + \frac{m + 2}{2}$ 한편, $\displaystyle \frac{1}{m + 1} + \frac{2}{m + 2} + \cdots + \frac{m}{2 m}$ $\displaystyle > \frac{1}{m + m} + \frac{2}{m + m} + \cdots + \frac{m}{2 m} = \square {( \text{다} )}$ 이고 $\displaystyle \square {( \text{나} )} < \frac{2 m + 1}{4}$이므로 $\displaystyle S _{m + 1} - S _{m} < \frac{2 m + 3}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle S _{m + 1} < S _{m} + \frac{2 m + 3}{4} < \frac{( m + 2 ) ^{2}}{4}$이므로 (*)은 $n = m + 1$일 때도 성립한다. 그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 $a$라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f ( m )$, $g ( m )$이라 할 때, $a f ( 3 ) g ( 3 )$의 값은? [3점] ①$\displaystyle \frac{13}{7}$②$\displaystyle \frac{20}{7}$③$\displaystyle \frac{26}{7}$④$\displaystyle \frac{33}{7}$⑤$\displaystyle \frac{39}{7}$