분산 구하는 과정 빈칸

[출제의도] 이산확률변수의 평균을 구할 수 있고 평균, 분산, 표준편차의 성질을 이해하는가? $Y = 10 X - 2.21$이라 하자. 확률변수 $Y$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

확률의 총합이 $1$이므로 $\displaystyle a + b + \frac{2}{3} = 1$ $\displaystyle a + b = \frac{1}{3}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또, ${\mathrm{E}} ( Y ) = 10 {\mathrm{E}} ( X ) - 2.21 = 0.5$이므로 $\displaystyle {\mathrm{E}} ( Y ) = ( - 1 ) \times a + 0 \times b + 1 \times \frac{2}{3}$$\displaystyle = - a + \frac{2}{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 그러므로 ㉠과 ㉡에서 $\displaystyle a = \square {\frac{1}{6}}$, $\displaystyle b = \square {\frac{1}{6}}$ 이고 $\displaystyle {\mathrm{V}} ( Y ) = \frac{7}{12}$이다. 한편, $Y = 10 X - 2.21$이므로 ${\mathrm{V}} ( Y ) = \square {100} \times {\mathrm{V}} ( X )$이다. 따라서 $\displaystyle {\mathrm{V}} ( X ) = \frac{1}{\square {100}} \times \frac{7}{12}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle p = \frac{1}{6} , q = \frac{1}{6} , r = 100$이므로 $\displaystyle p q r = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 100 = \frac{25}{9}$