대수수학적 귀납법AI기본 문제 (3점 중반)

분모 유리화 합 과정의 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n1k+1+k\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}}을 구하는 과정이다.

1k+1+k=k+1−k(k+1+k)(k+1−k)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} ) ( \sqrt{k + 1} - \sqrt{k} )} = (가) 이므로 ∑k=1n1k+1+k=(2−1)+(3−2)+⋯+(n+1−n)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}} = ( \sqrt{2} - \sqrt{1} ) + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) + \cdots + ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} ) == (나)

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 f(k)f ( k ), (나)에 알맞은 식을 g(n)g ( n )이라 할 때, f(1)+g(99)f ( 1 ) + g ( 99 )의 값을 구하시오. [3점]

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8+ sqrt 2

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해설

(k+1+k)(k+1−k)=(k+1)−k=1\displaystyle ( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} ) ( \sqrt{k + 1} - \sqrt{k} ) = ( k + 1 ) - k = 1이므로 1k+1+k=k+1−k\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k}, 즉 f(k)=k+1−k\displaystyle f ( k ) = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k} (2−1)+(3−2)+⋯+(n+1−n)\displaystyle ( \sqrt{2} - \sqrt{1} ) + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) + \cdots + ( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} )에서 가운데 항들이 모두 소거되므로 g(n)=n+1−1\displaystyle g ( n ) = \sqrt{n + 1} - 1 f(1)=2−1\displaystyle f ( 1 ) = \sqrt{2} - 1, g(99)=100−1=9\displaystyle g ( 99 ) = \sqrt{100} - 1 = 9 따라서 f(1)+g(99)=8+2\displaystyle f ( 1 ) + g ( 99 ) = 8 + \sqrt{2}

태그

#빈칸 추론#유리화#소거되는 합

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