미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

불연속점 개수 비교

문제

함수 $f ( x )$ 에 대하여 불연속점의 개수를 $N ( f )$ 로 나타내자. 예를 들어

f ( x ) =

󰀊 󰀈 󰀖

1 ( x > 0 )

0 ( x \leq 0 )

이면

N ( f ) = 1

이다.

다음 두 함수 $g ( x )$ , $h ( x )$ 에 대하여 $a _{1} = N ( g + h )$ , $a _{2} = N ( gh )$ , $a _{3} = N ( | h | )$ 라 할 때, $a _{1} , a _{2} , a _{3}$ 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, $( g + h ) ( x ) = g ( x ) + h ( x )$ , $( gh ) ( x ) = g ( x ) h ( x )$ , $| h | ( x ) = | h ( x ) |$ 이다.) [3점]

① $a _{1} = a _{2} = a _{3}$ ② $a _{1} < a _{2} = a _{3}$ ③ $a _{1} = a _{3} < a _{2}$ ④ $a _{2} < a _{1} = a _{3}$ ⑤ $a _{3} < a _{1} = a _{2}$

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②

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해설

$\displaystyle g ( x ) + h ( x ) = \begin{cases} 0 ( x \leq 0 ) \\ 0 ( 0 < x \leq 1 ) \\ 0 ( 1 < x \leq 2 ) \\ 2 ( x > 2 ) \end{cases}$ $\displaystyle g ( x ) h ( x ) = \begin{cases} 0 ( x \leq 0 ) \\ - 1 ( 0 < x \leq 1 ) \\ 0 ( 1 < x \leq 2 ) \\ 1 ( x > 2 ) \end{cases}$ $\displaystyle \left| h ( x ) \right| = \begin{cases} 0 ( x \leq 0 ) \\ 1 ( 0 < x \leq 1 ) \\ 0 ( 1 < x \leq 2 ) \\ 1 ( x > 2 ) \end{cases}$ $a _{1} = N ( g + h ) = 1 , a _{2} = N ( gh ) = 3$ , $a _{3} = N ( \left| h \right| ) = 3$ $\therefore a _{1} < a _{2} = a _{3}$

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