불연속 함수 조건

함수 $g \left( x \right)$를 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} f \left( x \right) & & \left( 0 \leq x < 1 , 1 < x \leq 2 \right) \\ 3 f \left( 2 \right) & & \left( x = 1 \right) \end{cases}$ 이라 하자. 조건 (가)에 의하여 함수 $g \left( x \right)$는 닫힌구간 $\left[ 0 , 2 \right]$에서 연속이다. 또한 조건 (나)에 의하여 $g \left( 0 \right) \neq 2$, $g \left( 2 \right) \neq 2$이고 $\displaystyle \frac{g \left( 0 \right) + g \left( 2 \right)}{2} = 2$이므로 $g \left( 0 \right) < 2 < g \left( 2 \right)$ 또는 $g \left( 2 \right) < 2 < g \left( 0 \right)$이다. 그러므로 사잇값 정리에 의하여 $0 < c < 2$이고 $g \left( c \right) = 2$인 $c$가 적어도 하나 존재한다. 조건 (나)에 의하여 $0 \leq x < 1$, $1 < x \leq 2$에서 $g \left( x \right) = f \left( x \right) \neq 2$ 이므로 $c = 1$ $g \left( 1 \right) = 3 f \left( 2 \right) = 2$에서 $\displaystyle f \left( 2 \right) = \frac{2}{3}$ $f \left( 0 \right) + f \left( 2 \right) = 4$에서 $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{10}{3}$ 따라서 $\displaystyle \frac{f \left( 0 \right)}{f \left( 2 \right)} = 5$