부정적분 연립 관계식

$F' ( x ) = f ( x )$, $G' ( x ) = g ( x )$이고 두 식을 변변 더하면 $\displaystyle f ( x ) + g ( x ) = \frac{( F ( x ) + G ( x ) ) + ( f ( x ) + g ( x ) )}{2}$ 정리하면 $F ( x ) + G ( x ) = f ( x ) + g ( x )$이다. 양변을 $x$에 관하여 미분하면 $F' ( x ) + G' ( x ) = ( f ( x ) + g ( x ) )'$ $( f ( x ) + g ( x ) )' = f ( x ) + g ( x )$ $\displaystyle \frac{\left( f ( x ) + g ( x ) \right)'}{f ( x ) + g ( x )} = 1$ 양변을 적분하면 $\ln \left( f ( x ) + g ( x ) \right) = x + C$ $f ( x ) + g ( x ) = e ^{x + C}$ 양변에 $x = 0$을 대입하면 $C = \ln 2$ $f ( x ) + g ( x ) = e ^{x + \ln 2} = e ^{x} e ^{\ln 2} = 2 e ^{x}$ $\therefore f ( 1 ) + g ( 1 ) = 2 e$