미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부정적분 조건

문제

구간 $\left( 0 , \infty \right)$ 에서 연속인 함수 $f \left( x \right)$ 의 한 부정적분을 $F \left( x \right)$ 라 할 때, 함수 $F \left( x \right)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.


	(가) 모든 양수 $x$ 에 대하여 $F \left( x \right) + xf \left( x \right) = \left( 2 x + 2 \right) e ^{x}$ (나) $F \left( 1 \right) = 2 e$

$F \left( 3 \right)$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{4} e ^{3}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2} e ^{3}$ ③ $e ^{3}$ ④ $2 e ^{3}$ ⑤ $4 e ^{3}$

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④

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[출제의도] 부분적분법을 활용하여 추론하기 $F ( x ) + xf ( x ) = F ( x ) + xF' ( x ) = \left\{ xF ( x ) \right\}'$ 주어진 식의 양변을 $x$ 에 대하여 적분하면 $\displaystyle xF ( x ) = \int _{} ^{} {( 2 x + 2 ) e ^{x} dx}$ $\displaystyle = ( 2 x + 2 ) e ^{x} - \int _{} ^{} {2 e ^{x} dx}$ $= ( 2 x + 2 ) e ^{x} - 2 e ^{x} + C$ $= 2 xe ^{x} + C$ ( $C$ 는 적분상수) $F ( 1 ) = 2 e$ 이므로 $F ( 1 ) = 2 e + C = 2 e$ 에서 $C = 0$ $F ( x ) = 2 e ^{x}$ 따라서 $F ( 3 ) = 2 e ^{3}$

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