미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부정적분 함수와 그래프 보기

문제

다음은 연속함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 이 그래프 위의 서로 다른 두 점 P(a,f(a))\mathrm{P} ( \mathit{a} , f ( a ) ), Q(b,f(b))\mathrm{Q} ( \mathit{b} , f ( b ) )를 나타낸 것이다.

함수 F(x)F ( x )가 F′(x)=f(x)F' ( x ) = f ( x )를 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

[ 보 기 ]
ㄱ. 함수 F(x)F ( x )는 구간 [a,b][ a , b ]에서 증가한다. ㄴ. F(b)−F(a)b−a\displaystyle \frac{F ( b ) - F ( a )}{b - a}는 직선 PQ\mathrm{PQ}의 기울기와 같다. ㄷ. ∫ab{f(x)−f(b)}dx≤(b−a){f(a)−f(b)}2\displaystyle \int _{a} ^{b} {\left\{ f ( x ) - f ( b ) \right\}} dx \leq \frac{( b - a ) \left\{ f ( a ) - f ( b ) \right\}}{2}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. 구간 [a,b][ a , b ]에서 F′(x)=f(x)>0F' ( x ) = f ( x ) > 0이므로 함수 F(x)F ( x )는 증가함수이다. (참) ㄴ. 직선 PQPQ의 기울기는 f(b)−f(a)b−a\displaystyle \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (거짓) ㄷ. 점 Q에서 직선 PA에 내린 수선의 발을 R라 놓으면 (b−a){f(a)−f(b)}2=\displaystyle \frac{( b - a ) \left\{ f ( a ) - f ( b ) \right\}}{2} =△PQR ∫ab{f(x)−f(b)}dx\displaystyle \int _{a} ^{b} \left\{ f ( x ) - f ( b ) \right\} dx=∫abf(x)dx−∫abf(b)dx\displaystyle = \int _{a} ^{b} {} f ( x ) dx - \int _{a} ^{b} {} f ( b ) dx =∫abf(x)dx−□QRAB\displaystyle = \int _{a} ^{b} {} f ( x ) dx - \square QRAB ∴∫ab{f(x)−f(b)}dx\displaystyle \therefore \int _{a} ^{b} {} \left\{ f ( x ) - f ( b ) \right\} dx≤(b−a){f(a)−f(b)}2\displaystyle \leq \frac{( b - a ) \left\{ f ( a ) - f ( b ) \right\}}{2} (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

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