부정적분 관계식

다항함수 $f \left( x \right)$의 한 부정적분이 $F \left( x \right)$이므로 $F' \left( x \right) = f \left( x \right)$ 함수 $2 f \left( x \right) + 1$의 한 부정적분이 $G \left( x \right)$이므로 $G' \left( x \right) = 2 f \left( x \right) + 1$ $G' \left( x \right) = 2 F' \left( x \right) + 1$이므로 양변을 $x$에 대하여 적분하면 $G \left( x \right) = 2 F \left( x \right) + x + C$ (단, $C$는 적분상수) $G \left( x \right) - 2 F \left( x \right) = x + C$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 $G \left( 3 \right) = 2 F \left( 3 \right)$이므로 ㉠의 양변에 $x = 3$을 대입하면 $G \left( 3 \right) - 2 F \left( 3 \right) = 3 + C$, $0 = 3 + C$, $C = - 3$ $\therefore$ $G \left( x \right) - 2 F \left( x \right) = x - 3$ 따라서 위 식의 양변에 $x = 5$를 대입하면 $G \left( 5 \right) - 2 F \left( 5 \right) = 5 - 3 = 2$