대수수열의 합AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부호가 번갈아 바뀌는 수열의 합 보기 판단

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항이 an=(−1)nna _{n} = ( - 1 ) ^{n} n일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. a1+a2=1a _{1} + a _{2} = 1 ㄴ. ∑k=12n+1ak=−n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 n + 1} a _{k} = - n ㄷ. ∑k=120kak=210\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} k a _{k} = 210

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. a1+a2=−1+2=1a _{1} + a _{2} = - 1 + 2 = 1 (참) ㄴ. a2k−1+a2k=−(2k−1)+2k=1a _{2 k - 1} + a _{2 k} = - ( 2 k - 1 ) + 2 k = 1이므로 ∑k=12nak=n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 n} a _{k} = n ∑k=12n+1ak=n+a2n+1=n−(2n+1)=−n−1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 n + 1} a _{k} = n + a _{2 n + 1} = n - ( 2 n + 1 ) = - n - 1 (거짓) ㄷ. kak=(−1)kk2k a _{k} = ( - 1 ) ^{k} k ^{2}이므로 (2m−1)a2m−1+2ma2m=−(2m−1)2+(2m)2=4m−1( 2 m - 1 ) a _{2 m - 1} + 2 m a _{2 m} = - ( 2 m - 1 ) ^{2} + ( 2 m ) ^{2} = 4 m - 1 ∑k=120kak=∑m=110(4m−1)=4⋅55−10=210\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} k a _{k} = \sum\limits _{m = 1} ^{10} ( 4 m - 1 ) = 4 \cdot 55 - 10 = 210 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이므로 답은 ③이다.

태그

#참·거짓 판정#교대수열#두 항씩 묶기#수열의 합

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