부호 조건을 만족하는 삼차함수

삼차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $1$이고 $f' \left( x \right) < 0$인 $x$가 존재하므로 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 극점을 갖는 개형이다. 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 실근이 $x = \alpha$ 하나뿐이면 $k - 1 < \alpha < k + 1$인 정수 $k$가 존재하고 $f \left( k - 1 \right) < 0 < f \left( k + 1 \right)$이므로 문제의 가정에 모순된다. 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 실근이 $x = \alpha$, $x = \beta$ ($\alpha < \beta$) 두 개뿐이라 하고 $x = \beta$가 중근이라 하자. 또 $\alpha$보다 작은 정수 중에서 가장 큰 정수를 $k - 1$이라 하자. 그러면 $f \left( k - 1 \right) < 0$이다.

$f \left( k - 1 \right) f \left( k + 1 \right) < 0$을 만족시키는 정수 $k$가 존재하지 않기 위해서는 $\beta = k + 1$, $\alpha = k$이어야 한다. (그렇지 않으면 $f \left( k \right) f \left( k + 2 \right) < 0$이 된다.) 이때 $\displaystyle f' \left( - \frac{1}{4} \right) < 0$, $\displaystyle f' \left( \frac{1}{4} \right) < 0$이므로 $f' \left( 0 \right) < 0$이고 따라서 $k < 0 < k + 1$이다. $k$는 정수이므로 이것은 불가능하다. $x = \alpha$가 중근인 경우도 같은 방법으로 모순임을 보일 수 있다. 그러므로 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. 이제 세 실근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$($\alpha < \beta < \gamma$)라 하자. (ⅰ) $\alpha$가 정수일 때 $\alpha - 1$, $\alpha + 1$은 모두 정수이고 $f \left( \alpha - 1 \right) < 0$이므로 $f \left( \alpha + 1 \right) \leq 0$이어야 한다. $\therefore$ $\beta \leq \alpha + 1 \leq \gamma$ $\gamma \geq \alpha + 2$이면 $\gamma$보다 작은 정수들 중에서 가장 큰 정수 $m$에 대하여 $\alpha + 1 \leq m < \gamma$이고 $f \left( m \right) < 0 < f \left( m + 2 \right)$이므로 문제의 가정을 만족하지 않는다. $\therefore$ $\gamma < \alpha + 2$ $\beta < \alpha + 1 < \gamma$이면 $f \left( \alpha + 1 \right) < 0 < f \left( \alpha + 2 \right)$이므로 마찬가지로 모순이다. $\therefore$ $\beta = \alpha + 1$ 또는 $\gamma = \alpha + 1$

$\gamma = \alpha + 1$이면 $f' \left( 0 \right) < 0$이므로 $\alpha < 0 < \gamma = \alpha + 1$이 되어 불가능하다. 따라서 $\beta = \alpha + 1$이고 $f' \left( 0 \right) < 0$으로부터 $\beta = \alpha + 1 = 0$이다. 즉 $f \left( x \right) = x \left( x + 1 \right) \left( x - \gamma \right)$ $f \left( x \right) = x \left( x + 1 \right) \left( x - \gamma \right) = x ^{3} + \left( 1 - \gamma \right) x ^{2} - \gamma x$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 \left( 1 - \gamma \right) x - \gamma$ $\displaystyle f' \left( - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{16} - \frac{1}{2} \left( 1 - \gamma \right) - \gamma = - \frac{5}{16} - \frac{1}{2} \gamma = - \frac{1}{4}$ $\displaystyle \gamma = - \frac{1}{8}$ $\gamma > 0$이어야 하므로 모순이다. (ⅱ) $\alpha$가 정수가 아닐 때 $\alpha$보다 작은 정수 중에서 가장 큰 정수를 $k - 1$이라 하자. 그러면 $f \left( k - 1 \right) < 0$이다.

문제의 가정에 의해 $\beta \leq k + 1 \leq \gamma$이어야 한다. $f \left( k - 2 \right) < 0$이므로 $\beta \leq k \leq \gamma$이어야 한다. $\gamma$가 정수가 아니면 $k + 1 \leq n - 1 < \gamma < n + 1$인 정수 $n$이 존재한다. $f \left( n - 1 \right) < 0 < f \left( n + 1 \right)$이므로 이것은 가정에 모순된다. 따라서 $\gamma$는 정수이다. $\gamma > k + 1$이면 $\beta \leq k < \gamma - 1$에서 $f \left( \gamma - 1 \right) < 0 < f \left( \gamma + 1 \right)$이므로 모순이다. $\therefore$ $\gamma = k + 1$ $\beta \ne k$이면 $f \left( k \right) < 0 < f \left( k + 2 \right)$이므로 가정에 모순된다. $\therefore$ $\beta = k$ $f' \left( k - 1 \right) > 0$, $f' \left( k + 1 \right) > 0$, $f' \left( 0 \right) < 0$이므로 $\therefore$ $\beta = k = 0$ $\therefore$ $f \left( x \right) = x \left( x - 1 \right) \left( x - \alpha \right) = x ^{3} - \left( 1 + \alpha \right) x ^{2} + \alpha x$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 2 \left( 1 + \alpha \right) x + \alpha$에서 $\displaystyle f' \left( - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{16} + \frac{1}{2} \left( 1 + \alpha \right) + \alpha = \frac{11}{16} + \frac{3}{2} \alpha = - \frac{1}{4}$ $\displaystyle \alpha = - \frac{5}{8}$ 이상에서 $\displaystyle f \left( x \right) = x \left( x - 1 \right) \left( x + \frac{5}{8} \right)$이므로 $\displaystyle f \left( 8 \right) = 8 \times 7 \times \frac{69}{8} = 483$