대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부호 교대 점화식

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=2a _{1} = 2이고, an+1=an+(−1)n2n+1n(n+1)\displaystyle a _{n + 1} = a _{n} + \left( - 1 \right) ^{n} \frac{2 n + 1}{n \left( n + 1 \right)} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 을 만족시킨다. a20=qp\displaystyle a _{20} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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39

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해설

an+1−ana _{n+1} - a _{n} =(−1)n2n+1n(n+1)\displaystyle = ( - 1 ) ^{n} \frac{2 n + 1}{n ( n + 1 )} =(−1)n(2n+1n−2n+1n+1)\displaystyle = ( - 1 ) ^{n} ( \frac{2 n + 1}{n} - \frac{2 n + 1}{n + 1} ) =(−1)n(2+1n−2+1n+1)\displaystyle = ( - 1 ) ^{n} ( 2 + \frac{1}{n} - 2 + \frac{1}{n + 1} ) =(−1)n(1n+1n+1)\displaystyle = ( - 1 ) ^{n} ( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} ) 즉, an+1−an=(−1)n(1n+1n+1)\displaystyle a _{n + 1} - a _{n} = ( - 1 ) ^{n} ( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} )이므로 a20=2+∑k=119(−1)k(1k+1k+1)\displaystyle a _{20} = 2 + \sum\limits _{k=1} ^{19} ( - 1 ) ^{k} ( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} ) =2+{−(1+12)+(12+13)−⋯ \displaystyle = 2 + \left\{ - ( 1 + \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ) - \cdots \right. −(119+120)}\displaystyle - ( \frac{1}{19} + \frac{1}{20} ) \} =2+(−1−120)=1−120=1920\displaystyle = 2 + ( - 1 - \frac{1}{20} ) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} ∴\therefore p+q=39p + q = 39

태그

#부분분수#점화식

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