부등식이 항상 성립하는 정수의 최댓값

$f ( x ) = x ^{n+2} - ( n + 2 ) x ^{2} - n ( n - 6 )$라고 하면 $x > 0$인 범위에서 항상 양이므로 $f ( 0 ) = - n ( n - 6 ) \geq 0$ $\therefore 0 \leq n \leq 6$ 또한, 주어진 함수의 도함수는 $f' ( x ) = ( n + 2 ) \cdot x \cdot ( x ^{n} - 2 )$ 따라서 $n \ne 0$인 경우, $\displaystyle x = 2 ^{\frac{1}{n}}$에서 극소를 가진다. $\displaystyle f \left( 2 ^{\frac{1}{n}} \right) = - n \cdot 2 ^{\frac{2}{n}} - n ( n - 6 ) \cdots ( 1 )$ 1) $n = 4$인 경우 $\displaystyle f ( \sqrt{2} ) = - 4 \cdot \sqrt{2} + 8 > 0$ 2) $n = 5$인 경우 $\displaystyle f \left( 2 ^{\frac{2}{5}} \right) = - 5 \cdot 2 ^{\frac{2}{5}} + 5 < 0$ 따라서, 조건에 부합하는 최대 정수 $n$은 $4$이다.