공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

부등식이 항상 성립할 조건

문제

−1≤x≤1- 1 \leq x \leq 1에서 부등식 x+a≤x2≤2x+bx + a \leq x ^{2} \leq 2 x + b가 항상 성립할 때, b−ab - a의 최솟값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. [3점]

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3.253.25

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해설

주어진 부등식은 {x2−x≥ax2−2x≤b\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} - x \geq a \\ x ^{2} - 2 x \leq b \end{cases}}의 교집합이다. f(x)=x2−x,g(x)=x2−2xf ( x ) = x ^{2} - x , g ( x ) = x ^{2} - 2 x라 두면 −1≤x≤1- 1 \leq x \leq 1에서 그래프는 다음과 같다.

이 때, −14≤f(x)≤2,−1≤g(x)≤3\displaystyle - \frac{1}{4} \leq f ( x ) \leq 2 , - 1 \leq g ( x ) \leq 3이므로 a≤−14,b≥3\displaystyle a \leq - \frac{1}{4} , b \geq 3이므로 −a≥14,b≥3\displaystyle - a \geq \frac{1}{4} , b \geq 3 ∴b−a≥3+14=3.25\displaystyle \therefore b - a \geq 3 + \frac{1}{4} = 3.25 따라서 최솟값은 3.253.25

태그

#이차함수 최대최소#부등식

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