부등식으로 정해지는 수열의 항

$\displaystyle 0 < \frac{1}{3} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{5 ^{k}} < \frac{1}{5 ^{n}}$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{1}{5 ^{n}} < \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{5 ^{k}} < \frac{1}{3}$ $\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{1}{5 ^{n}} < \frac{a _{1}}{5} + \frac{a _{2}}{5 ^{2}} + \frac{a _{3}}{5 ^{3}} + \cdots + \frac{a _{n}}{5 ^{n}} < \frac{1}{3}$ 위의 식의 각 변에 5를 곱하면 $\displaystyle \frac{5}{3} - \frac{1}{5 ^{n - 1}} < a _{1} + \frac{a _{2}}{5} + \frac{a _{3}}{5 ^{2}} + \cdots + \frac{a _{n}}{5 ^{n - 1}} < \frac{5}{3}$ $\cdots ( \text{ㄱ} )$ $\therefore a _{1} = 1 \left( \because a _{1} \text{은} \text{자연수} \right)$ (ㄱ)의 각 변에서 1을 빼면 $\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{1}{5 ^{n - 1}} < \frac{a _{2}}{5} + \frac{a _{3}}{5 ^{2}} + \cdots + \frac{a _{n}}{5 ^{n - 1}} < \frac{2}{3}$ 위의 식의 각 변에 5를 곱하면 $\displaystyle \frac{10}{3} - \frac{1}{5 ^{n - 2}} < a _{2} + \frac{a _{3}}{5 ^{1}} + \cdots + \frac{a _{n}}{5 ^{n - 2}} < \frac{10}{3}$$\cdots ( \text{ㄴ} )$ $\therefore a _{2} = 3 \left( \because a _{2} \text{는} \text{자연수} \right)$ (ㄴ)의 각 변에서 3을 빼면 $\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{1}{5 ^{n - 2}} < \frac{a _{3}}{5} + \frac{a _{4}}{5 ^{2}} + \frac{a _{5}}{5 ^{3}} + \cdots + \frac{a _{n}}{5 ^{n - 2}} < \frac{1}{3}$ 위의 식의 각 변에 5를 곱하면 $\displaystyle \frac{5}{3} - \frac{1}{5 ^{n - 3}} < a _{3} + \frac{a _{4}}{5} + \frac{a _{5}}{5 ^{2}} + \cdots + \frac{a _{n}}{5 ^{n - 3}} < \frac{5}{3}$ $\therefore a _{3} = 1 \left( \because a _{3} \text{은} \text{자연수} \right)$ 마찬가지로 $a _{4} = 3 , a _{5} = 1 , a _{6} = 3 , \cdots$ $\displaystyle \therefore a _{n} = {\begin{cases} 1 & ( n \text{이} \text{홀수} ) \\ 3 & ( n \text{이} \text{짝수} ) \end{cases}}$ $\therefore a _{2007} + a _{2008} + a _{2009} = 1 + 3 + 1 = 5$