부등식을 만족하며 수렴하는 수열의 극한값

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \alpha$라 하면, 주어진 관계식은 $n$이 무한히 큰 경우에 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} ( 3 a _{n} - a _{n} a _{n+1} ) \geq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{9}{4}$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$) $\displaystyle 3 \alpha - \alpha ^{2} \geq \frac{9}{4}$ ($\displaystyle \because \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n+1}} = \alpha$) 을 만족한다. 따라서, $( 2 \alpha - 3 ) ^{2} \leq 0$ $\displaystyle \therefore \alpha = \frac{3}{2}$