공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부등식 영역이 공집합이 아니기 위한 조건

문제

{(x,y)∣y≥4x2−2ax+a,y≤−4x2+3a}\left\{ \left( x , y \right) | y \geq 4 x ^{2} - 2 ax + a , y \leq - 4 x ^{2} + 3 a \right\} 가 공집합이 되지 않도록 하는 실수 aa의 범위는? ①a≤−16,a≥0a \leq - 16 , a \geq 0②−16≤a≤0- 16 \leq a \leq 0③a≤−12,a≥0a \leq - 12 , a \geq 0④−12≤a≤0- 12 \leq a \leq 0⑤a≤−8,a≥0a \leq - 8 , a \geq 0

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① a≤−16,a≥0a \leq - 16 , a \geq 0

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해설

4x2−2ax+a≤y≤−4x2+3a4 x ^{2} - 2 ax + a \leq y \leq - 4 x ^{2} + 3 a를 만족하는 yy가 존재하려면 4x2−2ax+a≤−4x2+3a4 x ^{2} - 2 ax + a \leq - 4 x ^{2} + 3 a 즉, 4x2−ax−a≤04 x ^{2} - ax - a \leq 0를 만족하는 실수 xx가 존재해야 한다. 따라서 4x2−ax−a=04 x ^{2} - ax - a = 0의 판별식을 DD라 할 때, D=a2+16a≥0D = a ^{2} + 16 a \geq 0이어야 한다. ∴ a≤−16a \leq - 16 또는 a≥0a \geq 0

태그

#판별식#이차부등식#존재조건

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