공통수학1연립일차부등식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식 영역 넓이

문제

좌표평면에서 xx, yy에 대한 연립부등식 {xy≥0∣x∣+2∣y∣≤k\displaystyle \begin{cases} x y \geq 0 _{} \\ | x | + 2 | y | \leq k ^{} \end{cases} 가 나타내는 영역의 넓이가 6060이 되도록 상수 kk의 값을 정할 때, k2k ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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120

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해설

[출제의도] 부등식의 영역을 이해하여 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. xy≥0x y \geq 0이 나타내는 영역은 좌표평면에서 xx축, yy축 및 제11사분면과 제33사분면이다. ∣x∣+2∣y∣≤k| x | + 2 | y | \leq k ⇔ {x+2y≤k(x≥0,y≥0)x−2y≤k(x≥0,y<0)−x−2y≤k(x<0,y<0)−x+2y≤k(x<0,y≥0)\displaystyle \begin{cases} x + 2 y \leq k & ( x \geq 0 , y \geq 0 ) \\ x - 2 y \leq k & ( x \geq 0 , y < 0 ) \\ - x - 2 y \leq k & ( x < 0 , y < 0 ) \\ - x + 2 y \leq k & ( x < 0 , y \geq 0 ) \end{cases} 이므로 영역은 점 (k,0),(0,k2),(−k,0),(0,−k2)\displaystyle \left( k , 0 \right) , \left( 0 , \frac{k}{2} \right) , \left( - k , 0 \right) , \left( 0 , - \frac{k}{2} \right)를 꼭짓점으로 하는 마름모의 내부(경계포함)이다. 따라서 주어진 연립부등식이 나타내는 영역은 그림과 같다.

연립부등식의 영역의 넓이가 6060이므로 2×12×k×k2=60\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} \times k \times \frac{k}{2} = 60, k22=60\displaystyle \frac{k ^{2}}{2} = 60 ∴ k2=120k ^{2} = 120

태그

#부등식의 영역#절댓값

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