부등식 수학적 귀납법

다음은 $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{n ^{2}} < 2 - \frac{1}{n}$임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. [증명]

(ⅰ) $n =$${\square {( \text{가} )}}$ 일 때, $\displaystyle ( \text{좌변} ) = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{5}{4} < 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = ( \text{우변} )$ 따라서, $n =$${\square {( \text{가} )}}$ 일 때, 주어진 식은 성립한다. (ⅱ) $n = k$($n \geq 2$)일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{k ^{2}} < 2 - \frac{1}{k}$이다. 위 식의 양변에 $\displaystyle \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}}$을 더하면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{k ^{2}} + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} < 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}}$ 그런데 $\displaystyle \left\{ - \frac{1}{k} + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} \right\} - {\square {( \text{나} )}}$ $\displaystyle = - \frac{1}{k ( k + 1 ) ^{2}} < 0$ 이므로 $\displaystyle 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} < 2 - \frac{1}{k + 1}$이다. 따라서, $n = k + 1$일 때에도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n \geq 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{n ^{2}} < 2 - \frac{1}{n}$이 성립한다.

이 증명 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점] (가) (나) ①$1$ $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$②$1$ $\displaystyle - \frac{1}{k + 1}$③$2$ $\displaystyle - \frac{1}{k + 1}$④$2$ $\displaystyle \frac{1}{k ( k + 1 )}$⑤$2$ $\displaystyle \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}}$