부등식 증명 빈칸

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 $h \left( x \right) = x ^{n + 2} - 3 \left( 3 ^{n + 1} - 1 \right) - 3 ^{n + 1} \left( n + 2 \right) \left( x - 3 \right)$ $h \left( x \right)$는 $\left( n + 2 \right)$차 다항함수이다. $h' \left( x \right)$$= \left( n + 2 \right) x ^{n + 1} - \left( n + 2 \right) 3 ^{n + 1}$$= \left( n + 2 \right) \times \left( {\square {x ^{n + 1} - 3 ^{n + 1} {}^{{}^{}} _{}}} \right)$ $x > 3$에서 $h' \left( x \right) > 0$이므로 $h \left( x \right)$는 증가한다. $x \geq 3$에서 $h \left( x \right)$의 최솟값은 $h \left( 3 \right)$ $h \left( 3 \right) = 3 ^{n + 2} - 3 \left( 3 ^{n + 1} - 1 \right) = 3$ $h \left( x \right)$의 최솟값은 ${\square {3 _{} ^{}}}$ $x \geq 3$에서 $h \left( x \right) \geq {\square {{}_{} 3 ^{}}} > 0$이므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right) > 0$ $x \geq 3$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) > g \left( x \right)$ $\therefore A \left( x \right) = x ^{n + 1} - 3 ^{n + 1}$, $p = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{p \times A \left( 4 \right)}{4 ^{n}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 \left( 4 ^{n + 1} - 3 ^{n + 1} \right)}{4 ^{n}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ 12 - 9 \times \left( \frac{3}{4} \right) ^{n} \right\}} = 12$