부등식 항상 성립

[출제의도] 절대부등식 이해하기 부등식 $x - 2 \leq ( a - 1 ) x + b \leq 2 x ^{2} + 5 x + 2$에서 (i) 모든 실수 $x$에 대하여 $( a - 1 ) x + b \geq x - 2$ 즉, $( a - 2 ) x + b + 2 \geq 0$이 성립하여야 하므로 $a = 2$, $b \geq - 2$ (ii) (i)에서 $a = 2$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $2 x ^{2} + 4 x + 2 - b \geq 0$이 성립하여야 하므로 판별식 $D = 16 - 4 \times 2 \times ( 2 - b ) \leq 0$ 따라서 $b \leq 0$ (i), (ii)에 의해, $- 2 \leq b \leq 0$ 이므로 $\beta - \alpha$의 최댓값은 $2$이다.