부등식 항상 성립

연립부등식의 해가 모든 실수이기 위해서는 두 부등식 $2 x + 1 \leq 2 x + a$와 $2 x + a \leq x ^{2} - 2 x + 24$의 해가 각각 모든 실수이어야 한다. $2 x + 1 \leq 2 x + a$의 해가 모든 실수가 되기 위해서는 $a \geq 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $2 x + a \leq x ^{2} - 2 x + 24$, $x ^{2} - 4 x + 24 - a \geq 0$ 의 해가 모든 실수가 되기 위해서는 판별식 $D = 4 ^{2} - 4 \left( 24 - a \right) \leq 0$ $a \leq 20$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $1 \leq a \leq 20$이므로 $a$의 최댓값과 최솟값의 합은 $21$