대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부등식 귀납법 증명

문제

다음은 모든 자연수 nn에 대하여 2n−1≤n!2 ^{n - 1} \leq n !임을 이용하여 ∑k=1n3k−1+12⋅k!≤3n−12n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} \leq \frac{3 ^{n} - 1}{2 ^{n}} …… (★) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (ⅰ) n=1n = 1일 때, (좌변)=□(가)= {\square {\text{(가)}}} 이고 (우변)=1= 1이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) n=mn = m일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1m3k−1+12⋅k!≤3m−12m\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}}이다. n=m+1n = m + 1일 때, ∑k=1m+13k−1+12⋅k!=∑k=1m3k−1+12⋅k!+□(나)≤3m−12m+□(나)\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} & = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} + {\square {\text{(나)}}} \\ & \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}} + {\square {\text{(나)}}} \end{aligned} 한편, 모든 자연수 nn에 대하여 2n−1≤n!2 ^{n - 1} \leq n !이 성립하므로 ∑k=1m+13k−1+12⋅k!\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !}≤3m−12m+□(나)\displaystyle \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}} + {\square {\text{(나)}}} ≤3m−12m+3m+1□(다)=3m+1−1□(다)\displaystyle \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}} + \frac{3 ^{m} + 1}{{\square {\text{(다)}}}} = \frac{3 ^{m + 1} - 1}{{\square {\text{(다)}}}} 이 성립한다. 따라서 n=m+1n = m + 1일 때도 (★)이 성립한다. 그러므로 모든 자연수 nn에 대하여 (★)이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 pp, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(m),g(m)f ( m ) , g ( m )이라 할 때, f(p)×g(p)f ( p ) \times g ( p )의 값은? [4점] ①22②44③88④1616⑤3232

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②

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해설

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 명제 추론하기

<증명> (ⅰ) n=1n = 1일 때, (좌변)=□1= {\square {1}} 이고 (우변)=1= 1이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) n=mn = m일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1m3k−1+12⋅k!≤3m−12m\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}}이다. n=m+1n = m + 1일 때, ∑k=1m+13k−1+12⋅k!=∑k=1m3k−1+12⋅k!+□3m+12(m+1)!≤3m−12m+□3m+12(m+1)!\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} & = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !} + {\square {\frac{3 ^{m} + 1}{2 ( m + 1 ) !}}} \\ & \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}} + {\square {\frac{3 ^{m} + 1}{2 ( m + 1 ) !}}} \end{aligned} 한편, 모든 자연수 nn에 대하여 2n−1≤n!2 ^{n-1} \leq n !이 성립하므로 ∑k=1m+13k−1+12⋅k!\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{3 ^{k - 1} + 1}{2 \cdot k !}≤3m−12m+□3m+12(m+1)!\displaystyle \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}} + {\square {\frac{3 ^{m} + 1}{2 ( m + 1 ) !}}} ≤3m−12m+3m+1□2m+1=3m+1−1□2m+1\displaystyle \leq \frac{3 ^{m} - 1}{2 ^{m}} + \frac{3 ^{m} + 1}{{\square {2 ^{m + 1}}}} = \frac{3 ^{m + 1} - 1}{{\square {2 ^{m + 1}}}} 이 성립한다. 따라서 n=m+1n = m + 1일 때도 (★)이 성립한다. 그러므로 모든 자연수 nn에 대하여 (★)이 성립한다.

p=1,f(m)=3m+12(m+1)!,g(m)=2m+1\displaystyle p = 1 , f ( m ) = \frac{3 ^{m} + 1}{2 ( m + 1 ) !} , g ( m ) = 2 ^{m + 1} 그러므로 f(p)×g(p)=f(1)×g(1)=4f ( p ) \times g ( p ) = f ( 1 ) \times g ( 1 ) = 4

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#수학적 귀납법#빈칸 추론

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