부등식 귀납법 빈칸

$\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{n} \left( \frac{1}{2 i - 1} - \frac{1}{2 i} \right) < \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{n} \right)$ …㉠ ⅰ)$n = 2$일 때, (좌변)$\displaystyle = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = \frac{7}{12}$ (우변)$\displaystyle = \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{8}$이므로 성립한다. ⅱ) $n = k$ ($k \geq 2$인 자연수)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{k} \left( \frac{1}{2 i - 1} - \frac{1}{2 i} \right) < \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{k} \right)$ …㉡ ㉡식의 양변에 $\displaystyle \frac{1}{2 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 )}$을 더하면 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{k + 1} \left( \frac{1}{2 i - 1} - \frac{1}{2 i} \right) < \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{k} \right) +$$\displaystyle \frac{1}{2 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 )}$ 한편 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{k} \right) +$$\displaystyle \frac{1}{2 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 )}$에서 $2 ( 2 k + 1 ) > 4 k$임을 이용하여 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{k} \right) +$$\displaystyle \frac{1}{2 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 )}$ $<$$\displaystyle \frac{1}{4} \left( 3 - \frac{1}{k} \right) +$$\displaystyle \frac{1}{4 k ( k + 1 )}$ $=$ $\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{1}{4 ( k + 1 )}$ 따라서 $n = k + 1$일 때도 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 부등식 ㉠은 $n \geq 2$인 모든 자연수에 대하여 성립한다.