부채꼴과 내접원의 각

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 추론하기 원 $C$의 중심을 $\mathrm{F}$라 하고 $\mathrm{\angle} COF = \alpha$라 하자. $\mathrm{\angle} COF = \angle FOE$이므로 $\cos \left( \angle \mathrm{COE} \right)$$= \cos \left( \alpha + \alpha \right)$ $= \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$ $\displaystyle = 2 \cos ^{2} \alpha - 1 = \frac{7}{25}$ 에서 $\displaystyle \cos ^{2} \alpha = \frac{16}{25}$ $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$이므로 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5}$ 두 직선 $\mathrm{BD}$, $\mathrm{CD}$가 원 $C$와 접하는 점을 각각 $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$라 하자. 원 $C$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = \mathit{8} - r$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = \mathit{r}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{OHF}$에서 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{r}{8 - r} = \frac{3}{5}$, $r = 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = {\overline{OF}} \times \cos \alpha = 5 \times \frac{4}{5} = 4$ 사각형 $\mathrm{DHFG}$는 한 변의 길이가 $3$인 정사각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = \mathrm{\overline{OH}} - {\overline{DH}} = 4 - 3 = 1$ $\angle \mathrm{AOC} = \beta$라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{OBD} = \frac{\pi}{2} - \angle DOB = \angle \mathrm{AOC}$이므로 삼각형 $\mathrm{BOD}$에서 $\displaystyle \sin \beta = \frac{1}{8}$, $\displaystyle \cos \beta = \frac{3}{8} \sqrt{7}$ 또한 $\displaystyle \sin 2 \alpha = \sqrt{1 - \cos ^{2} 2 \alpha} = \sqrt{1 - \left( \frac{7}{25} \right) ^{2}} = \frac{24}{25}$ $\sin \left( \angle \mathrm{AOE} \right)$$= \sin \left( 2 \alpha + \beta \right)$ $= \sin 2 \alpha \cos \beta + \cos 2 \alpha \sin \beta$ $\displaystyle = \frac{24}{25} \times \frac{3}{8} \sqrt{7} + \frac{7}{25} \times \frac{1}{8}$ $\displaystyle = \frac{7}{200} + \frac{9}{25} \sqrt{7}$ 에서 $\displaystyle p = \frac{7}{200}$, $\displaystyle q = \frac{9}{25}$ 따라서 $\displaystyle 200 \times \left( p + q \right) = 200 \times \left( \frac{7}{200} + \frac{9}{25} \right) = 79$