부채꼴과 코사인법칙

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제 해결하기 삼각형 $\mathrm{APB}$의 외접원의 반지름의 길이 $R$는 부채꼴 $\mathrm{OAB}$의 반지름의 길이와 같으므로 $R = 6$ $\displaystyle \angle \mathrm{BPA} = \mathit{\theta} \left( \theta > \frac{\pi}{2} \right)$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{APB}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \sin \theta = \frac{8 \sqrt{2}}{2 \times 6} \mathit{=} \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\displaystyle \cos ^{2} \theta = 1 - \left( \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) ^{2} = \frac{\mathit{1}}{9}$ $\displaystyle \theta > \frac{\pi}{2}$일 때, $\cos \theta < 0$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \mathit{-} \frac{1}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{k}$라 하면, $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{BP}} = 3 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 3 \mathit{k}$ 삼각형 $\mathrm{APB}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 3 k \right) ^{2} + k ^{2} - 2 \times 3 k \times k \times \left( - \frac{1}{3} \right) \mathit{=} \left( 8 \sqrt{2} \right) ^{2}$ $9 k ^{2} + k ^{2} + 2 k ^{2} = 128$, $\displaystyle k ^{2} = \frac{32}{3}$ 따라서 선분 $\mathrm{BP}$의 길이는 $\displaystyle \frac{4 \sqrt{6}}{3}$