미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 속 원 도형 극한

문제

그림과 같이 AB‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 1, BC‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 선분 BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자. 중심이 B\mathrm{B}, 반지름의 길이가 BM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 BMA\mathrm{BMA}를 그리고, 중심이 C\mathrm{C}, 반지름의 길이가 CD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 CDM\mathrm{CDM}을 그린다. 두 부채꼴의 호 MA\mathrm{MA}, 호 DM\mathrm{DM}과 선분 AD\mathrm{AD}에 모두 접하는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 새로 그려진 각 부채꼴의 내부에 두 변의 길이의 비가 1:21 : 2인 직사각형을 긴 변이 선분 BC\mathrm{BC}위에 놓이면서 각 부채꼴에 내접하도록 각각 그리고, 각 직사각형에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림을 RnR _{n}이라 할 때, 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 하자. 이때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

R1R _{1} A\mathrm{A} B\mathrm{B} M\mathrm{M} D\mathrm{D} C\mathrm{C}
R2R _{2} A\mathrm{A} B\mathrm{B} M\mathrm{M} D\mathrm{D} C\mathrm{C}
R3R _{3} A\mathrm{A} B\mathrm{B} M\mathrm{M} D\mathrm{D} C\mathrm{C}
⋮\vdots⋮\vdots

①112π\displaystyle \frac{1}{12} \pi②548π\displaystyle \frac{5}{48} \pi③18π\displaystyle \frac{1}{8} \pi④748π\displaystyle \frac{7}{48} \pi⑤16π\displaystyle \frac{1}{6} \pi

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②

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해설

다음은 그림 R1R _{1}이다.

두 부채꼴의 호 MA\mathrm{MA}, 호 DM\mathrm{D} M과 선분 AD\mathrm{A} D에 모두 접하는 원의 중심을 O\mathrm{O}, 반지름의 길이를 rr라 하자. BO‾2=BM‾2+OM‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{BO}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BM}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{O} M}} ^{2}이므로 (1+r)2=12+(1−r)2\left( 1 + r \right) ^{2} = 1 ^{2} + \left( 1 - r \right) ^{2} r=14\displaystyle r = \frac{1}{4}, S1=(14)2π=π16\displaystyle S _{1} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \pi = \frac{\pi}{16} 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다. (n≥1)\left( n \geq 1 \right)

An\mathrm{A} _{\mathit{n}} Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}} On\mathrm{O} _{\mathit{n}} An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} Dn+1\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} Mn+1\mathrm{M} _{\mathit{n} + 1} rn\mathit{r} _{\mathit{n}} rn+1\mathit{r} _{\mathit{n} + 1} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}}

그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 각 부채꼴에 내접하는 직사각형 중 한 꼭짓점을 B\mathrm{B}로 하는 직사각형을 AnBCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} BC _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}이라 하고, 직사각형 AnBCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} BC _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}내부의 두 부채꼴의 호와 선분 AnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}에 모두 접하는 원의 중심을 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}, 반지름의 길이를 rnr _{\mathit{n}}, 선분 BCn\mathrm{BC} _{\mathit{n}}의 중점을 Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}}이라 하자. An+1B‾=l\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B}} = l이라 하면 An+1B‾:BCn+1‾=1:2\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B}} : {\overline{\mathrm{BC} _{\mathit{n} + 1}}} = 1 : 2이므로 BCn+1‾=2l\displaystyle {\overline{\mathrm{BC} _{\mathit{n} + 1}}} = 2 l, BDn+1‾=5l\displaystyle {\overline{\mathrm{BD} _{\mathit{n} + 1}}} = \sqrt{5} l 또한, BDn+1‾=BMn‾=5l\displaystyle {\overline{\mathrm{BD} _{\mathit{n} + 1}}} = {\overline{\mathrm{BM} _{\mathit{n}}}} = \sqrt{5} l이고 삼각형 On+1BMn+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} BM _{\mathit{n} + 1}과 삼각형 OnBMn\mathrm{O} _{\mathit{n}} BM _{\mathit{n}}은 닮음이므로 BMn+1‾:BMn‾=BOn+1‾:BOn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BM} _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{\mathrm{BM} _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{BO} _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{\mathrm{BO} _{\mathit{n}}}} l:5l=(l+rn+1):(5l+rn)\displaystyle l : \sqrt{5} l = \left( l + r _{n + 1} \right) : \left( \sqrt{5} l + r _{n} \right) rn+1=15rn\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{5}} r _{n} 그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 원 한 개의 넓이를 ana _{n}이라 하면 an+1=15an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{5} a _{n} 그림 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 그려진 원의 개수는 그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 원의 개수의 22배이므로 SnS _{n}은 첫째항이 π16\displaystyle \frac{\pi}{16}이고 공비가 25\displaystyle \frac{2}{5}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=π161−25=548π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{\frac{\pi}{16}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{5}{48} \pi}

태그

#등비급수#도형

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