부채꼴 속 삼각형 넓이 극한

$\displaystyle \overline{\mathrm{O}} P$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{Q}} H$의 교점을 $\mathrm{R}$이라 하면 $\angle \mathrm{P} HQ = \theta$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}} P \perp \overline{\mathrm{Q}} H$이다. 삼각비에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{H}} R = \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2 \theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O}} R = \cos ^{2} \theta$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{O} HR$의 넓이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}} R \cdot \overline{\mathrm{R}} H \cdot \frac{1}{2} = \cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{2} \mathrm{s} \in 2 \theta \cdot \frac{1}{2} = \mathrm{S} _{1}$ 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{Q}} R = \sqrt{1 - ( \cos ^{2} \theta ) ^{2}}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{O} RQ$의 넓이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}} R \cdot \overline{\mathrm{Q}} R \cdot \frac{1}{2} = \cos ^{2} \theta \cdot \sqrt{1 - \cos ^{4} \theta} \cdot \frac{1}{2} = \mathrm{S} _{2}$ 구하는 극한값은 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0+{}} {} \frac{\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{2} \mathrm{\sin} 2 \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos ^{2} \theta \cdot \sqrt{1 - \cos ^{4} \theta} \cdot \frac{1}{2}}{\theta}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$