부채꼴 속 삼각형 넓이 최대

선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하고 점 ${\mathrm{M}}$을 지나고 직선 ${\mathrm{OB}}$에 평행한 직선이 선분 ${\mathrm{OA}}$와 만나는 점을 ${\mathrm{H}}$라 하자. $\displaystyle \overline{{\mathrm{OB}}} = \overline{{\mathrm{OC}}}$인 이등변삼각형 ${\mathrm{OBC}}$에서 점 ${\mathrm{M}}$이 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점이므로 $\angle {\mathrm{OMB}} \mathit{=} 90 ^\circ$이다.

삼각형 ${\mathrm{OAP}}$의 넓이 $S ( x )$는 $S ( x )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{OA}}} \times \overline{{\mathrm{PH}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times \left( {\overline{\mathrm{MH}}} + {\overline{\mathrm{PM}}} \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{PM}}} = \overline{{\mathrm{BM}}} = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{BC}}} = \frac{x}{2}$이므로 직각삼각형 ${\mathrm{OMB}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OM}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BM}}} ^{2}$$\displaystyle = 1 - \left( \frac{x}{2} \right) ^{2} = 1 - \frac{x ^{2}}{4}$ 이다. $\angle {\mathrm{OMH}} \mathit{=} \angle {\mathrm{BOM}}$이므로 $\triangle \mathrm{O} {H} M$$\backsim$$\triangle \mathrm{BMO}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MH}}} : {\overline{\mathrm{OM}}} = {\overline{\mathrm{OM}}} : {\overline{\mathrm{OB}}} = {\overline{\mathrm{OM}}} : 1$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MH}}} = {\overline{\mathrm{OM}}} ^{2} = 1 - \frac{x ^{2}}{4}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. ㉠, ㉡에서 $S ( x )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \left( 1 - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{2} \right)$ $\displaystyle = - \frac{1}{8} \left( x - 1 \right) ^{2} + \frac{5}{8} \left( 0 < x < \sqrt{2} \right)$ $S ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5}{8}$이므로 $p = 8$, $q = 5$이다. 따라서 $p + q = 13$이다.