미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 속 사각형 급수

문제

그림과 같이 중심이 O{\mathrm{O}}, 반지름의 길이가 22이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 OAB{\mathrm{OAB}}가있다. 선분 OA{\mathrm{OA}}의 중점을 C,{\mathrm{C}} ,선분 OB{\mathrm{OB}}의 중점을 D{\mathrm{D}}라 하자. 점 C{\mathrm{C}}를 지나고 선분 OB{\mathrm{OB}}와 평행한 직선이 호 AB{\mathrm{AB}}와 만나는 점을 E{\mathrm{E}}, 점 D{\mathrm{D}}를 지나고 선분 OA{\mathrm{OA}}와 평행한 직선이 호 AB{\mathrm{AB}}와 만나는 점을 F{\mathrm{F}}라 하자. 선분 CE{\mathrm{CE}}와 선분 DF{\mathrm{DF}}가 만나는 점을 G{\mathrm{G}}, 선분 OE{\mathrm{OE}}와 선분 DG{\mathrm{DG}}가 만나는 점을 H{\mathrm{H}}, 선분 OF{\mathrm{OF}}와 선분 CG{\mathrm{CG}}가 만나는 점을 I{\mathrm{I}}라 하자. 사각형 OIGH{\mathrm{OIGH}}를 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 중심이 C{\mathrm{C}}, 반지름의 길이가 CI‾\displaystyle \overline{{\mathrm{CI}}}, 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 CJI{\mathrm{CJI}}와 중심이 D{\mathrm{D}}, 반지름의 길이가 DH‾\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}}, 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 DHK{\mathrm{DHK}}를 그린다. 두 부채꼴 CJI{\mathrm{CJI}}, DHK{\mathrm{DHK}}에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점] ①2(3−3)5\displaystyle \frac{2 ( 3 - \sqrt{3} )}{5}②7(3−3)15\displaystyle \frac{7 ( 3 - \sqrt{3} )}{15}③8(3−3)15\displaystyle \frac{8 ( 3 - \sqrt{3} )}{15}④3(3−3)5\displaystyle \frac{3 ( 3 - \sqrt{3} )}{5}⑤2(3−3)3\displaystyle \frac{2 ( 3 - \sqrt{3} )}{3}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

R1R _{1}에서 OC‾=OD‾=1\displaystyle \overline{OC} = \overline{OD} = 1이므로 ∠COD=∠DOF=π3\displaystyle \angle COD = \angle DOF = \frac{\pi}{3} 따라서 ∠COI=∠DOH=π6\displaystyle \angle COI = \angle DOH = \frac{\pi}{6}이고 S1=1−13\displaystyle S _{1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}이다. R2R _{2}에서 사분의 일 원은 모두 닮음이고 R1R _{1}에서 새로 그려진 두개의 사분의 일 원은 반지름의 길이가 CI‾=13\displaystyle \overline{CI} = \frac{1}{\sqrt{3}}이 된다. 따라서 큰 사분의 일 원과 작은 사분의 일 원의 길이의 비는 2:13\displaystyle 2 : \frac{1}{\sqrt{3}}, 즉 123\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{3}}배가 되었다. 길이의 비가 123\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{3}}배이므로 넓이의 비는 (123)2=112\displaystyle \left( \frac{1}{2 \sqrt{3}} \right) ^{2} = \frac{1}{12}이다. 또한 개수는 2개가 되었으므로 S2S _{2}는 다음과 같이 구할 수 있다. S2=S1+16S1\displaystyle S _{2} = S _{1} + \frac{1}{6} S _{1} 마찬가지로 S2=S1+16S1+(16)2S1\displaystyle S _{2} = S _{1} + \frac{1}{6} S _{1} + \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} S _{1}이므로 Sn=S1{1+(16)+(16)2+(16)3+⋯+(16)n}\displaystyle S _{n} = S _{1} \left\{ 1 + \left( \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{6} \right) ^{3} + \cdots + \left( \frac{1}{6} \right) ^{n} \right\} 따라서 lim⁡n→∞Sn=S11−16=6S15=2(3−3)5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{S _{1}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6 S _{1}}{5} = \frac{2 ( 3 - \sqrt{3} )}{5}

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로