미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

부채꼴 속 반원 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}를 지나고 선분 OB\mathrm{OB}와 평행한 직선이 선분 OA\mathrm{OA}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하고 ∠AOP=θ\mathrm{\angle} AOP = \theta라 하자. 점 A\mathrm{A}를 지름의 한 끝점으로 하고 지름이 선분 AQ\mathrm{AQ} 위에 있으며 선분 PQ\mathrm{PQ}에 접하는 반원의 반지름의 길이를 r(θ)r ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→0+r(θ)θ=a+b3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{r ( \theta )}{\theta} = a + b \sqrt{3}이다. a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π3\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}이고, aa, bb는 유리수이다.)\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

θ\theta r(θ)r ( \theta )

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5

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해설

작은 원의 중심을 O′O', PP에서 OAOA에 내린 수선의 발을 HH라고 하면 O′A=r(θ)O' A = r ( \theta ), O′Q=23r(θ)\displaystyle O' Q = \frac{2}{\sqrt{3}} r ( \theta ) PH=sin⁡θPH = \sin \theta, QH=13sin⁡θ\displaystyle QH = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta, OQ=cos⁡θ−13sin⁡θ\displaystyle OQ = \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta OA=cos⁡θ−13sin⁡θ+23r(θ)+r(θ)=1\displaystyle OA = \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{3}} \sin \theta + \frac{2}{\sqrt{3}} r ( \theta ) + r ( \theta ) = 1 ∴r(θ)=3(1−cos⁡θ)+sin⁡θ2+3\displaystyle \therefore r ( \theta ) = \frac{\sqrt{3} ( 1 - \cos \theta ) + \sin \theta}{2 + \sqrt{3}} lim⁡θ→0+r(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{r ( \theta )}{\theta} =lim⁡θ→0+12+3{31−cos⁡θθ+sin⁡θθ}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \left\{ \sqrt{3} \frac{1 - \cos \theta}{\theta} + \frac{\sin \theta}{\theta} \right\} =12+3=2−3\displaystyle = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} ∴a=2,b=−1\therefore a = 2 , b = - 1 ∴a2+b2=5\therefore a ^{2} + b ^{2} = 5

태그

#삼각함수의 극한#도형

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