미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 55이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OABOAB에서 선분 OBOB를 2:32 : 3으로 내분하는 점을 CC라 하자. 점 PP에서 호 ABAB에 접하는 직선과 직선 OBOB의 교점을 QQ라 하고, 점 CC에서 선분 PBPB에 내린 수선의 발을 RR, 점 RR에서 선분 PQPQ에 내린 수선의 발을 SS라 하자. ∠POB=θ\angle POB = \theta일 때, 삼각형 OCPOCP의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 삼각형 PRSPRS의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 하자. 80×lim⁡θ→0+g(θ)θ2×f(θ)\displaystyle 80 \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{g ( \theta )}{\theta ^{2} \times f ( \theta )}}의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [4점]

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49

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해설

OC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = 2, OP‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 5이므로 f(θ)=12×2×5sin⁡θ=5sin⁡θ\displaystyle f \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 \sin \theta = 5 \sin \theta ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 삼각형 OBP\mathrm{OBP}는 이등변삼각형이므로 BP‾=2×5sin⁡θ2=10sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 2 \times 5 \sin \frac{\theta}{2} = 10 \sin \frac{\theta}{2} ∠OBP=π−θ2\displaystyle \angle \mathrm{OBP} = \frac{\pi - \theta}{2}이므로 ∠BCR=θ2\displaystyle \angle \mathrm{BCR} = \frac{\theta}{2}이고 BR‾=3sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{BR}} = 3 \sin \frac{\theta}{2} ∴\thereforePR‾=BP‾−BR‾=7sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \overline{BP} - \overline{BR} = 7 \sin \frac{\theta}{2} ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ∠OPQ=π2\displaystyle \angle \mathrm{OPQ} = \frac{\pi}{2}이고 ∠OPB=π−θ2\displaystyle \mathrm{\angle} OPB = \frac{\pi - \theta}{2}이므로 ∠RPS=θ2\displaystyle \angle \mathrm{RPS} = \frac{\theta}{2} ⋯⋯\cdots \cdots ㉢ ∴\thereforePS‾=PR‾cos⁡θ2=7sin⁡θ2cos⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{PS}} = \overline{PR} \cos \frac{\theta}{2} = 7 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} ⋯⋯\cdots \cdots ㉣ ㉡, ㉢, ㉣에서 g(θ)g \left( \theta \right)=12×7sin⁡θ2×7sin⁡θ2cos⁡θ2×sin⁡θ2\displaystyle = \frac{1}{2} \times 7 \sin \frac{\theta}{2} \times 7 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \times \sin \frac{\theta}{2} =492sin⁡3θ2cos⁡θ2\displaystyle = \frac{49}{2} \sin ^{3} \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} ⋯⋯\cdots \cdots ㉤ ㉠, ㉤에서 80×lim⁡θ→0+g(θ)θ2×f(θ)\displaystyle 80 \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{g \left( \theta \right)}{\theta ^{2} \times f \left( \theta \right)} =80×lim⁡θ→0+492sin⁡3θ2cos⁡θ2θ2×5sin⁡θ\displaystyle = 80 \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\frac{49}{2} \sin ^{3} \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\theta ^{2} \times 5 \sin \theta} =8×49lim⁡θ→0+sin⁡3θ2cos⁡θ2θ2×sin⁡θ\displaystyle = 8 \times 49 \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\sin ^{3} \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\theta ^{2} \times \sin \theta} =8×49lim⁡θ→0+(sin⁡θ2θ2)3×cos⁡θ2×1(sin⁡θθ)×18\displaystyle = 8 \times 49 \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \left( \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \right) ^{3} \times {\cos \frac{\theta}{2}} \times \frac{1}{\left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right)} \times \frac{1}{8} =8×49×18=49\displaystyle = 8 \times 49 \times \frac{1}{8} = 49

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#삼각함수의 극한#도형

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