미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 삼각형 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 1\mathrm{1}이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OAB{\mathrm{OAB}}가 있다. 호 AB{\mathrm{AB}} 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 PA‾=PC‾=PD‾\displaystyle \overline{{\mathrm{PA}}} = \overline{{\mathrm{PC}}} = \overline{{\mathrm{PD}}}가 되도록 호 PB{\mathrm{PB}} 위에 점 C{\mathrm{C}}와 선분 OA{\mathrm{OA}} 위에 점 D{\mathrm{D}}를 잡는다. 점 D{\mathrm{D}}를 지나고 선분 OP{\mathrm{OP}}와 평행한 직선이 선분 PA{\mathrm{PA}}와 만나는 점을 E{\mathrm{E}}라 하자. ∠POA=θ\angle {\mathrm{POA}} \mathit{=} \theta일 때, 삼각형 CDP{\mathrm{CDP}}의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 삼각형 EDA{\mathrm{EDA}}의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+g(θ)θ2×f(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{g ( \theta )}{\theta ^{2} \times f ( \theta )}의 값은? (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

①18\displaystyle \frac{1}{8}②14\displaystyle \frac{1}{4}③38\displaystyle \frac{3}{8}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤58\displaystyle \frac{5}{8}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

PA‾\displaystyle {\overline{PA}}의 중점을 MM이라 하면 ∠AOM=θ2\displaystyle \angle AOM = \frac{\theta}{2}이므로 AM‾=sin⁡θ2\displaystyle {\overline{AM}} = \sin \frac{\theta}{2}이다. PA‾=PC‾=PD‾=2sin⁡θ2\displaystyle {\overline{PA}} = {\overline{PC}} = {\overline{PD}} = 2 \sin \frac{\theta}{2} 삼각형 OAPOAP와 삼각형 PADPAD는 닮음이므로 PA‾OA‾=DA‾PA‾\displaystyle \frac{{\overline{PA}}}{{\overline{OA}}} = \frac{{\overline{DA}}}{{\overline{PA}}}, DA‾=4sin⁡2θ2\displaystyle {\overline{DA}} = 4 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}이다. ∴g(θ)=12×(4sin⁡2θ)2×sin⁡θ\displaystyle \therefore g \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times \left( 4 \sin ^{2} \frac{\theta}{} \right) ^{2} \times \sin \theta=8sin⁡4θ2sin⁡θ\displaystyle = 8 \sin ^{4} \frac{\theta}{2} \sin \theta ∠OPD=∠OPA−∠DPA\angle OPD = \angle OPA - \angle DPA=(π2−θ2)−θ=π2−32θ\displaystyle = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) - \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \theta 이고, ∠OPC=π2−θ2\displaystyle \angle OPC = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}이므로 ∠DPC=(π2−32θ)+(π2−θ2)=π−2θ\displaystyle \angle DPC = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \theta \right) + \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \pi - 2 \theta ∴f(θ)=12×(2sin⁡θ2)2×sin⁡(π−2θ)\displaystyle \therefore f ( \theta ) = \frac{1}{2} \times \left( 2 \sin \frac{\theta}{2} \right) ^{2} \times \sin ( \pi - 2 \theta )=2sin⁡2θ2sin⁡2θ\displaystyle = 2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \sin 2 \theta lim⁡θ→0+g(θ)θ2×f(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{g ( \theta )}{\theta ^{2} \times f ( \theta )}=lim⁡θ→0+8sin⁡4θ2sin⁡θ2θ2×sin⁡2θ2sin⁡2θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{8 \sin ^{4} \frac{\theta}{2} \sin \theta}{2 \theta ^{2} \times \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \sin 2 \theta}=lim⁡θ→0+(4×sin⁡2θ2θ2×sin⁡θsin⁡2θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left( 4 \times \frac{\sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{\theta ^{2}} \times \frac{\sin \theta}{\sin 2 \theta} \right) =4×(12)2×12\displaystyle = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \times \frac{1}{2}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#삼각함수의 극한#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로