부채꼴 넓이 급수

[출제의도] 급수와 정적분의 관계를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다．

원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하고 $\angle {{\mathrm{P}} _{k}} {\mathrm{C}} {{\mathrm{Q}} _{k}} = \theta$라 하면 $\angle {{\mathrm{P}} _{k}} {\mathrm{O}} {{\mathrm{Q}} _{k}} = 2 \theta$이므로 부채꼴 ${\mathrm{O}} {{\mathrm{P}} _{k}} {{\mathrm{Q}} _{k}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 ^{2} \times 2 \theta = 16 \theta$ 호 ${\mathrm{A}} {\mathrm{P}} _{k}$와 호 ${\mathrm{A}} {\mathrm{Q}} _{k}$의 길이가 같고 $\angle {{\mathrm{P}} _{k}} {\mathrm{O}} {{\mathrm{Q}} _{k}} = 2 \theta$ 이므로 $\angle {{\mathrm{A}} {\mathrm{O}} {{\mathrm{P}} _{k}} = \angle {{\mathrm{A}}} {\mathrm{O}} {{\mathrm{Q}} _{k}} = \theta}$ $\angle {{\mathrm{C}} {\mathrm{O}} {{\mathrm{P}} _{k}} = \angle {{\mathrm{C}}} {\mathrm{O}} {{\mathrm{Q}} _{k}} = \pi - \theta}$이므로 삼각형 ${\mathrm{COP}} _{k}$와 삼각형 ${\mathrm{COQ}} \mathit{_{k}}$의 넓이는 같다. 삼각형 ${\mathrm{COP}} _{k}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OC}}} \times {\overline{\mathrm{OP} \mathit{\mathrm{_{k}}}}} \times \sin ( \pi - \theta ) = 8 \sin \theta$ 따라서 $S _{k} = 16 \theta + 16 \sin \theta$이고 $\displaystyle \angle {\mathrm{BCD}} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} \times \frac{k}{n} = \frac{k}{2 n} \pi$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} S _{k}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\pi}{n}} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( 16 \theta + 16 \sin \theta ) \right.$ $\displaystyle = 2 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( 16 \frac{\pi}{2 n} k + 16 \sin \frac{\pi}{2 n} k \right) \frac{\pi}{2 n}$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} \left( 16 x + 16 \sin x ) dx \right.$ $\displaystyle = 16 \left[ \begin{array}{l} x ^{2} - 2 \cos x \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{\frac{\pi}{2}}$ $= 4 \pi ^{2} + 32$ 따라서 $a + b = 4 + 32 = 36$