미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

부채꼴 넓이 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 22이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OABOAB가 있다. 호 ABAB 위의 점 TT에서 선분 OAOA와 선분 OBOB에 내린 수선의 발을 각각 PP, QQ라 하고 ∠T=θ\angle T = \theta라 하자. 점 PP와 점 QQ를 지름의 양끝으로 하고 점 TT를 지나는 반원을 CC라 할 때, 반원 CC의 호 TPTP, 선분 PAPA, 부채꼴 OATOAT의 호 ATAT로 둘러싸인 부분의 넓이를 f(θ)f \left( \theta \right), 삼각형 OPQOPQ의 넓이를 g(θ)g \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→+0θ+f(θ)g(θ)=a\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{\theta + f \left( \theta \right)}{g \left( \theta \right)}} = a일 때, 100a100 a의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [4점]

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50

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해설

점 TT의 좌표를 T(2cos⁡θ,2sin⁡θ)T ( 2 \cos \theta , 2 \sin \theta )라 하고,직사각형 OPTQOPTQ에서 두 대각선 OTOT, PQPQ의 교점을 MM이라 하자. f(θ)=(부채꼴OAT의넓이)f ( \theta ) = ( \text{부채꼴} OAT \text{의} \text{넓이} ) −(삼각형OPM의넓이)- ( \text{삼각형} OPM \text{의} \text{넓이} )−(부채꼴MPT의넓이)- ( \text{부채꼴} MPT \text{의} \text{넓이} ) =12×22×θ−12×2cos⁡θ×1×sin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 ^{2} \times \theta - \frac{1}{2} \times 2 \cos \theta \times 1 \times \sin \theta −12×12×2θ\displaystyle - \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times 2 \theta =θ−cos⁡θsin⁡θ= \theta - \cos \theta \sin \theta g(θ)=12×2cos⁡θ×2sin⁡θ\displaystyle g ( \theta ) = \frac{1}{2} \times 2 \cos \theta \times 2 \sin \theta=2cos⁡θsin⁡θ= 2 \cos \theta \sin \theta ∴ a=a =lim⁡θ→+0θ+f(θ)g(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{\theta + f ( \theta )}{g ( \theta )}=lim⁡θ→+02θ−cos⁡θsin⁡θ2cos⁡θsin⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{2 \theta - \cos \theta \sin \theta}{2 \cos \theta \sin \theta} =lim⁡θ→+0(θcos⁡θsin⁡θ−12)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \left( {\frac{\theta}{\cos \theta \sin \theta} - \frac{1}{2} )} \right.=1−12\displaystyle = 1 - \frac{1}{2}=12\displaystyle = \frac{1}{2} ∴ 100a=50100 a = 50

태그

#삼각함수 극한#도형

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