미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 넓이 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 1인 부채꼴 OABOAB에서 호 ABAB의 삼등분점 중 BB에 가까운 점을 CC라 하고, 점 CC를 지나고 선분 OAOA에 평행한 직선이 선분 OBOB와 만나는 점을 DD라 하자. ∠COD=θ\angle COD = \theta일 때, 삼각형 OCDOCD의 넓이를 f(θ)f ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+θf(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\theta}{f ( \theta )}의 값은? (단, 0<θ<π6\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{6}이다.) [4점]

①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③1④3⑤6

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한 문제해결하기 점 OO를 지나고 선분 OAOA에 수직인 직선과 직선 CDCD의 교점을 HH라 하자. ∠COA=∠OCH\angle COA = \angle OCH이고, ∠OCH=2θ,OC‾=1\displaystyle \angle OCH = 2 \theta , {\overline{OC}} = 1이므로 OH‾=sin⁡2θ\displaystyle {\overline{OH}} = \sin 2 \theta ∠ODH=3θ,OH‾=sin⁡2θ\displaystyle \angle ODH = 3 \theta , {\overline{OH}} = \sin 2 \theta이므로 OD‾=sin⁡2θsin⁡3θ\displaystyle {\overline{OD}} = \frac{\sin 2 \theta}{\sin 3 \theta} f(θ)=12×sin⁡2θsin⁡3θ×1×sin⁡θ\displaystyle f ( \theta ) = \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2 \theta}{\sin 3 \theta} \times 1 \times \sin \theta lim⁡θ→0+θf(θ)=lim⁡θ→0+θ12×sin⁡2θsin⁡3θ×sin⁡θ=3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\theta}{f ( \theta )} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\theta}{\frac{1}{2} \times \frac{\sin 2 \theta}{\sin 3 \theta} \times \sin \theta} = 3

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#삼각함수의 극한#도형

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