대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 넓이 등차수열

문제

그림과　같이　반지름의　길이가　1515인　원을 55개의 부채꼴로 나누었더니 부채꼴의 넓이가 작은 것부터 차례로 등차수열을　이루었다. 가장　큰　부채꼴의　넓이가　가장　작은　부채꼴의　넓이의　22배일 때, 가장 큰 부채꼴의　넓이는 kπk \pi이다. 이때 kk의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 등차수열의 일반항과 합을 이용하여 도형 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 55개의 부채꼴의 넓이를 작은 것부터 차례로 a−2d,a−d,a,a+d,a+2da - 2 d , a - d , a , a + d , a + 2 d(d>0d > 0)라 하면 55개의 부채꼴의 넓이의 합은 원의 넓이이므로 5a=152π5 a = 15 ^{2} \pi ∴ a=45πa = 45 \pi 또, 주어진 조건으로부터 (a+2d)=2(a−2d)( a + 2 d ) = 2 ( a - 2 d )에서 d=a6=15π2\displaystyle d = \frac{a}{6} = \frac{15 \pi}{2} 따라서 가장 큰 부채꼴의 넓이는 a+2d=45π+2⋅152π=60π\displaystyle a + 2 d = 45 \pi + 2 \cdot \frac{15}{2} \pi = 60 \pi ∴ k=60k = 60

태그

#등차수열#부채꼴

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