대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 넓이 빈칸

문제

그림과 같이 OA‾=OB‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = 1, ∠AOB=θ\angle \mathrm{AOB} = \theta인 이등변삼각형 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 선분 OA\mathrm{OA}와 만나는 점 중 A\mathrm{A}가 아닌 점을 P\mathrm{P}, 선분 OB\mathrm{OB}와 만나는 점 중 B\mathrm{B}가 아닌 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 M\mathrm{M}이라 할 때, 다음은 부채꼴 MPQ\mathrm{MPQ}의 넓이 S(θ)S \left( \theta \right)를 구하는 과정이다. (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2})

삼각형 OAM\mathrm{OAM}에서 ∠OMA\angle \mathrm{OMA}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}, ∠AOM\angle \mathrm{AOM}=θ2\displaystyle = \frac{\theta}{2}이므로 MA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MA}}}=□(가)= {\square {\left( \text{가} \right)}} 이다. 한편, ∠OAM\angle \mathrm{OAM}=π2−θ2\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}이고 MA‾=MP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MA}}} = {\overline{\mathrm{MP}}}이므로 ∠AMP\angle \mathrm{AMP}=□(나)= {\square {\left( \text{나} \right)}} 이다. 같은 방법으로 ∠OBM\angle \mathrm{OBM}=π2−θ2\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}이고 MB‾=MQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MB}}} = {\overline{\mathrm{MQ}}}이므로 ∠BMQ\angle \mathrm{BMQ}=□(나)= {\square {\left( \text{나} \right)}} 이다. 따라서 부채꼴 MPQ\mathrm{MPQ}의 넓이 S(θ)S \left( \theta \right)는 S(θ)S \left( \theta \right)=12×(□(가))2×□(다)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( {\square {\left( \text{가} \right)}} \right) ^{2} \times {\square {\left( \text{다} \right)}} 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(θ)f \left( \theta \right), g(θ)g \left( \theta \right), h(θ)h \left( \theta \right)라 할 때, f(π3)×g(π6)h(π4)\displaystyle \frac{f \left( \frac{\pi}{3} \right) \times g \left( \frac{\pi}{6} \right)}{h \left( \frac{\pi}{4} \right)}의 값은? [4점] ①512\displaystyle \frac{5}{12}②13\displaystyle \frac{1}{3}③14\displaystyle \frac{1}{4}④16\displaystyle \frac{1}{6}⑤112\displaystyle \frac{1}{12}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 부채꼴의 넓이 증명하기 삼각형 OAM\mathrm{OAM}에서 ∠OMA\angle \mathrm{OMA}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}, ∠AOM\angle \mathrm{AOM}=θ2\displaystyle = \frac{\theta}{2}이므로 MA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MA}}}=□sin⁡θ2\displaystyle = {\square {\sin \frac{\theta}{2}}} 이다. 한편, ∠OAM\angle \mathrm{OAM}=π2−θ2\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}이고 MA‾=MP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MA}}} = {\overline{\mathrm{MP}}}이므로 ∠AMP\angle \mathrm{AMP}=π−2×(π2−θ2)\displaystyle = \pi - 2 \times \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right)=□θ= {\square {\theta}} 이다. 같은 방법으로 ∠OBM\angle \mathrm{OBM}=π2−θ2\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}이고 MB‾=MQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MB}}} = {\overline{\mathrm{MQ}}}이므로 ∠BMQ\angle \mathrm{BMQ}=□θ= {\square {\theta}} 이다. 따라서 부채꼴 MPQ\mathrm{MPQ}의 넓이 S(θ)S \left( \theta \right)는 S(θ)S \left( \theta \right)=12×(□sin⁡θ2)2×□π−2θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( {\square {\sin \frac{\theta}{2}}} \right) ^{2} \times {\square {\pi - 2 \theta}} 이다.

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 식은 각각 f(θ)=sin⁡θ2\displaystyle f \left( \theta \right) = \sin \frac{\theta}{2}, g(θ)=θg \left( \theta \right) = \theta, h(θ)=π−2θh \left( \theta \right) = \pi - 2 \theta이므로 f(π3)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=12\displaystyle = \frac{1}{2}, g(π6)\displaystyle g \left( \frac{\pi}{6} \right)=π6\displaystyle = \frac{\pi}{6}, h(π4)\displaystyle h \left( \frac{\pi}{4} \right)=π−π2\displaystyle = \pi - \frac{\pi}{2}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2} 이다. 따라서 f(π3)×g(π6)h(π4)\displaystyle \frac{f \left( \frac{\pi}{3} \right) \times g \left( \frac{\pi}{6} \right)}{h \left( \frac{\pi}{4} \right)}=12×π6π2\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{2}}=16\displaystyle = \frac{1}{6} 이다.

태그

#부채꼴#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 삼각함수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로