미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 넓이 비 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OAB{\mathrm{OAB}}가 있다. 호 AB{\mathrm{AB}} 위의 점 P{\mathrm{P}}에서 선분 OA{\mathrm{OA}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}, 점 P{\mathrm{P}}에서 호 AB{\mathrm{AB}}에 접하는 직선과 직선 OA{\mathrm{OA}}의 교점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 점 Q{\mathrm{Q}}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 QA‾\displaystyle \mathrm{\overline{QA}}인 원과 선분 PQ\mathrm{PQ}의 교점을 R\mathrm{R}라 하자. ∠POA=θ\mathrm{\angle} POA = \theta일 때, 삼각형 OHP{\mathrm{OHP}}의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 부채꼴 QRA{\mathrm{QRA}}의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+g(θ)θ×f(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\sqrt{g ( \theta )}}{\theta \times f ( \theta )}의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [4점] ①π5\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{5}②π4\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{4}③π3\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{3}④π2\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}⑤π\displaystyle \sqrt{\pi}

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④

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해설

OH‾=cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \cos \theta, PH‾=sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \sin \theta이므로 f(θ)=12sin⁡θcos⁡θ=14sin⁡2θ\displaystyle f ( \theta ) = \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \sin 2 \theta ∠OPQ=π2\displaystyle \angle \mathrm{OPQ} = \frac{\pi}{2}이므로 OQ‾=1cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \frac{1}{\cos \theta}이고, AQ‾=1cos⁡θ−1=1−cos⁡θcos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \frac{1}{\cos \theta} - 1 = \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta}이다. 이때 ∠AQR=π2−θ\displaystyle \angle \mathrm{AQR} = \frac{\pi}{2} - \theta이므로 g(θ)=12(1−cos⁡θcos⁡θ)(π2−θ)\displaystyle g ( \theta ) = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right) \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)이다. g(θ)θ×f(θ)=4cos⁡θ12(π2−θ)1−cos⁡θθsin⁡2θ\displaystyle \frac{\sqrt{g ( \theta} )}{\theta \times f ( \theta )} = \frac{4}{\cos \theta} \sqrt{\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)} \frac{1 - \cos \theta}{\theta \sin 2 \theta} =4cos⁡θ12(π2−θ)1−cos⁡θθ2θsin⁡2θ\displaystyle = \frac{4}{\cos \theta} \sqrt{\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)} \frac{1 - \cos \theta}{\theta ^{2}} \frac{\theta}{\sin 2 \theta}이므로 lim⁡θ→0+g(θ)θ×f(θ)=π2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\sqrt{g ( \theta} )}{\theta \times f ( \theta )} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

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#삼각함수의 극한#도형

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