미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 내접원 급수

문제

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $\mathrm{O} _{1}$ 에서 서로 수직인 두 반지름을 그어 중심각의 크기가 각각 $270 ^\circ$ , $90 ^\circ$ 인 부채꼴 $\mathrm{A} _{1}$ , $\mathrm{B} _{1}$ 을 만든 후, 부채꼴 $\mathrm{B} _{1}$ 에 내접하는 원 $\mathrm{O} _{2}$ 를 그린다. 다시 원 $\mathrm{O} _{2}$ 에서 서로 수직인 두 반지름을 그어 중심각의 크기가 각각 $270 ^\circ$ , $90 ^\circ$ 인 부채꼴 $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{B} _{2}$ 를 만든 후, 부채꼴 $\mathrm{B} _{2}$ 에 내접하는 원 $\mathrm{O} _{3}$ 을 그린다. 이와 같은 과정을 한없이 계속하여 얻어진 부채꼴 $\mathrm{A} _{1}$ , $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{A} _{3}$ , $\cdots$ 의 넓이를 각각 $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ , $\cdots$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$ 의 값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{( 3 \sqrt{2} + 2 ) \pi}{8}$ ② $\displaystyle \frac{( 3 \sqrt{2} + 3 ) \pi}{8}$ ③ $\displaystyle \frac{( 3 \sqrt{2} - 1 ) \pi}{4}$ ④ $\displaystyle \frac{( \sqrt{3} + 2 ) \pi}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{( 3 \sqrt{3} + 2 ) \pi}{8}$

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②

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해설

[출제의도] 도형에서 규칙을 발견하여 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 $\mathrm{O} _{\mathit{n}} , O _{\mathit{n} + 1}$ 의 반지름을 각각 $r _{n} , r _{n+1}$ 이라 하면 그림에서 사각형 $\mathrm{P} O _{\mathit{n}} Q O _{\mathit{n} + 1}$ 은 정사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{O} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n} + 1}} = r _{n} - r _{n + 1}$ $\displaystyle = \sqrt{2} r _{n + 1}$ 에서 $\displaystyle r _{n + 1} = ( \sqrt{2} - 1 ) r _{n}$ 이다. 따라서 부채꼴 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ 과 부채꼴 $\mathrm{A} _{n + 1}$ 은 닮은 도형이고 그 닮음비가 $\displaystyle 1 : ( \sqrt{2} - 1 )$ 이므로 $\displaystyle \frac{S _{n + 1}}{S _{n}} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}$ $\displaystyle = 3 - 2 \sqrt{2}$ 이다. 또 $\displaystyle S _{1} = \frac{3}{4} \pi$ 이므로 $S _{1} , S _{2} , S _{3} , \cdots$ 는 첫째항이 $\displaystyle \frac{3}{4} \pi$ , 공비가 $\displaystyle 3 - 2 \sqrt{2}$ 인 무한등비수열이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{3}{4} \pi}{1 - \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right)} = \frac{\left( 3 \sqrt{2} + 3 \right) \pi}{8}$

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