기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 내적 최대최소

문제

그림과 같이 한 평면 위에 반지름의 길이가 44이고 중심각의 크기가 120∘120 ^\circ인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}와 중심이 C\mathrm{C}이고 반지름의 길이가 11인 원 CC가 있고, 세 벡터 OA⃗{\vec{\mathrm{OA}}}, OB⃗{\vec{\mathrm{OB}}}, OC⃗{\vec{\mathrm{OC}}}가 OA⃗∙OC⃗=24{\vec{\mathrm{OA}}} \bullet {\vec{OC}} = 24, OB⃗∙OC⃗=0{\vec{\mathrm{OB}}} \bullet {\vec{OC}} = 0 을 만족시킨다. 호 AB\mathrm{AB} 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}와 원 CC 위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 OP⃗∙PQ⃗\vec{\mathrm{OP}} \bullet \vec{PQ}의 최댓값과 최솟값을 각각 MM, mm이라 할 때, M+mM + m의 값은? [4점]

①123−34\displaystyle 12 \sqrt{3} - 34②123−32\displaystyle 12 \sqrt{3} - 32③163−36\displaystyle 16 \sqrt{3} - 36④163−34\displaystyle 16 \sqrt{3} - 34⑤163−32\displaystyle 16 \sqrt{3} - 32

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⑤

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해설

[출제의도] 벡터의 내적의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. OB⃗∙OC⃗{\vec{\mathrm{OB}}} \bullet {\vec{OC}}=0= 0에서 ∠COB\angle \mathrm{COB}=90∘= 90 ^\circ, ∠AOC\angle \mathrm{AOC}=30∘= 30 ^\circ OA⃗∙OC⃗{\vec{\mathrm{OA}}} \bullet {\vec{OC}}=∣OA⃗∣×∣OC⃗∣×cos⁡30∘= \left| {\vec{\mathrm{OA}}} \right| \times \left| {\vec{OC}} \right| \times \cos 30 ^\circ=23×∣OC⃗∣\displaystyle = 2 \sqrt{3} \times \left| {\vec{\mathrm{OC}}} \right| OA⃗∙OC⃗{\vec{\mathrm{OA}}} \bullet {\vec{OC}}=24= 24에서 ∣OC⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OC}}} \right|=43\displaystyle = 4 \sqrt{3} OP⃗∙PQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{PQ}}}=OP⃗∙(OQ⃗−OP⃗)= {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OP}}} \right) =OP⃗∙OQ⃗−∣OP⃗∣2= {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}} - \left| {\vec{\mathrm{OP}}} \right| ^{2} =OP⃗∙OQ⃗−16= {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}} - 16 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ OP⃗{\vec{\mathrm{OP}}}와 OC⃗{\vec{\mathrm{OC}}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 0∘≤θ≤90∘0 ^\circ \leq \theta \leq 90 ^\circ이고 OP⃗∙OQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}=OP⃗∙(OC⃗+CQ⃗)= {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{OC}}} + {\vec{\mathrm{CQ}}} \right) =OP⃗∙OC⃗+OP⃗∙CQ⃗= {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OC}}} + {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{CQ}}} =163cos⁡θ+OP⃗∙CQ⃗\displaystyle = 16 \sqrt{3} \cos \theta + {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{CQ}}} θ\theta=0∘= 0 ^\circ이고, 두 벡터 OP⃗{\vec{\mathrm{OP}}}, CQ⃗{\vec{\mathrm{CQ}}}의 방향이 같을 때, OP⃗∙OQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}의 값이 최대이므로 OP⃗∙OQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}≤163+4\displaystyle \leq 16 \sqrt{3} + 4 ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ θ\theta=90∘= 90 ^\circ이고, 두 벡터 OP⃗{\vec{\mathrm{OP}}}, CQ⃗{\vec{\mathrm{CQ}}}의 방향이 반대일 때, OP⃗∙OQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}의 값이 최소이므로 OP⃗∙OQ⃗{\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}≥−4\geq - 4 ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡, ㉢에서 −4−16≤OP⃗∙PQ⃗≤163+4−16\displaystyle - 4 - 16 \leq {\vec{\mathrm{OP}}} \bullet {\vec{\mathrm{PQ}}} \leq 16 \sqrt{3} + 4 - 16 MM=163−12\displaystyle = 16 \sqrt{3} - 12, mm=−20= \mathit{-} 20 따라서 M+mM + m=163−32\displaystyle = 16 \sqrt{3} - 32

태그

#내적#최대최소

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