미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 직사각형 급수

문제

그림과 같이 중심이 O1\mathrm{O} _{1}, 반지름의 길이가 22이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 O1A1B1\mathrm{O} _{1} A _{1} B _{1}에서 두 선분 O1A1\mathrm{O} _{1} A _{1}, O1B1\mathrm{O} _{1} B _{1} 위에 두 점 M1\mathrm{M} _{1}, O2\mathrm{O} _{2}를 각각 O1M1‾=22O1A1‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} M _{1}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \overline{O _{1} A _{1}}, O1O2‾=22O1B1‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} O _{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\overline{O _{1} B _{1}}}이 되도록 정하자. 두 점 M1\mathrm{M} _{1}, O2\mathrm{O} _{2}와 호 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1} 위의 두 점 C1\mathrm{C} _{1}, A2\mathrm{A} _{2}를 꼭짓점으로 하는 직사각형 O2M1C1A2\mathrm{O} _{2} M _{1} C _{1} A _{2}를 그리고, 직사각형 O2M1C1A2\mathrm{O} _{2} M _{1} C _{1} A _{2}와 삼각형 O1C1A2\mathrm{O} _{1} C _{1} A _{2}의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 중심이 O2\mathrm{O} _{2}, 반지름의 길이가 O2A2‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{2} A _{2}}}이고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 O2A2B2\mathrm{O} _{2} A _{2} B _{2}를 점 B2\mathrm{B} _{2}가 부채꼴 O1A1B1\mathrm{O} _{1} A _{1} B _{1}의 외부에 있도록 그리고, 두 선분 O2A2\mathrm{O} _{2} A _{2}, O2B2\mathrm{O} _{2} B _{2} 위에 두 점 M2\mathrm{M} _{2}, O3\mathrm{O} _{3}을 각각 O2M2‾=22O2A2‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{2} M _{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\overline{O _{2} A _{2}}}, O2O3‾=22O2B2‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{2} O _{3}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} {\overline{O _{2} B _{2}}}가 되도록 정하자. 두 점 M2\mathrm{M} _{2}, O3\mathrm{O} _{3}과 호 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2} 위의 두 점 C2\mathrm{C} _{2}, A3\mathrm{A} _{3}을 꼭짓점으로 하는 직사각형 O3M2C2A3\mathrm{O} _{3} M _{2} C _{2} A _{3}을 그리고, 직사각형 O3M2C2A3\mathrm{O} _{3} M _{2} C _{2} A _{3}과 삼각형 O2C2A3\mathrm{O} _{2} C _{2} A _{3}의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①76\displaystyle \frac{7}{6}②43\displaystyle \frac{4}{3}③32\displaystyle \frac{3}{2}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤116\displaystyle \frac{11}{6}

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②

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해설

[출제의도] 반복되는 도형의 닮음비를 추론하여 등비급수의 값을 구한다.

점 O1\mathrm{O} _{1}에서 선분 C1A2\mathrm{C} _{1} A _{2}에 내린 수선의 발을 H1\mathrm{H} _{1}이라 하고, 선분 O1C1\mathrm{O} _{1} C _{1}, O1H1\mathrm{O} _{1} H _{1}, O1A2\mathrm{O} _{1} A _{2}가 선분 M1O2\mathrm{M} _{1} O _{2}와 만나는 점을 각각 D1\mathrm{D} _{1}, E1\mathrm{E} _{1}, F1\mathrm{F} _{1}이라 하자. O1M1‾=O1O2‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} M _{1}}} = \overline{O _{1} O _{2}} = \sqrt{2}이고 삼각형 O1M1O2\mathrm{O} _{1} M _{1} O _{2}는 직각이등변삼각형이므로 O2M1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{2} M _{1}}}=2= 2, ∠O1O2E1=45∘\angle \mathrm{O} _{1} O _{2} E _{1} = 45 ^\circ이다. 삼각형 O1E1O2\mathrm{O} _{1} E _{1} O _{2}도 ∠O1E1O2=90∘\mathrm{\angle} O _{1} E _{1} O _{2} = 90 ^\circ이므로 직각이등변삼각형이고 O1E1‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} E _{1}}}=1= 1이다. A2C1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{2} C _{1}}}=O2M1‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{O} _{2} M _{1}}}=2= 2이므로 삼각형 O1C1A2\mathrm{O} _{1} C _{1} A _{2}는 정삼각형이고 O1H1‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} H _{1}}} = \sqrt{3}이다. 또, △O1D1F1\mathrm{\triangle} O _{1} D _{1} F _{1}∽\backsim△O1C1A2\mathrm{\triangle} O _{1} C _{1} A _{2}이고 O1E1‾:O1H1‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} E _{1}}} : \mathrm{\overline{O _{1} H _{1}}}=1:3\displaystyle = 1 : \sqrt{3}이므로 두 삼각형의 넓이의 비는 1:31 : 3이다. 그러므로 S1S _{1}=△O1C1A2−△O1D1F1= \triangle \mathrm{O} _{1} C _{1} A _{2} - \triangle \mathrm{O} _{1} D _{1} F _{1} =△O1C1A2−13△O1C1A2\displaystyle = \triangle \mathrm{O} _{1} C _{1} A _{2} - \frac{1}{3} \triangle \mathrm{O} _{1} C _{1} A _{2} =23△O1C1A2\displaystyle = \frac{2}{3} \triangle \mathrm{O} _{1} C _{1} A _{2}=23×(12×2×3)\displaystyle = \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} \right) =233\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

OnAn‾=rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}}}} = r _{n}, On+1An+1‾=rn+1\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}} = r _{n + 1}이라 하면 OnMn‾=OnOn+1‾=22rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{n}}}}} = {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} r _{n}이다. 두 삼각형 OnMnOn+1{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{M}} _{n} {\mathrm{O}} _{n + 1}, OnEnOn+1{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{E}} _{n{\mathrm{O}}} {}_{n + 1}은 직각이등변삼각형이므로 On+1Mn‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{O}} _{n + 1} {\mathrm{M}} _{n}}}=rn= r _{n}이고 OnEn‾=12rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{E} \mathit{\mathrm{_{n}}}}} = \frac{1}{2} r _{n}이다. An+1Cn‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} _{n + 1} {\mathrm{C}} _{n}}}=On+1Mn‾\displaystyle = {\overline{{\mathrm{O}} _{n + 1} {\mathrm{M}} _{n}}}=rn= r _{n}이므로 삼각형 OnCnAn+1{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{A}} _{n + 1}은 정삼각형이다. OnHn‾=32rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{n}}}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} r _{n}이므로 rn+1r _{n + 1}=EnHn‾\displaystyle = \overline{{\mathrm{E}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}}=OnHn‾−OnEn‾\displaystyle = \overline{{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}} - \overline{{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{E}} _{n}} =32rn−12rn\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} r _{n} - \frac{1}{2} r _{n}=3−12rn\displaystyle = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} r _{n} 이다. 그러므로 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}이고 공비가 (3−12)2\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ^{2}=1−32\displaystyle = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}=2331−(1−32)\displaystyle = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}=43\displaystyle = \frac{4}{3} [다른 풀이] 앞의 그림에서 O1M1‾=O1O2‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} M _{1}}} = \overline{O _{1} O _{2}} = \sqrt{2}이므로 삼각형 O1M1O2\mathrm{O} _{1} M _{1} O _{2}는 직각이등변삼각형이다. ∠O1M1O2=∠O1O2M1=45∘\mathrm{\angle} O _{1} M _{1} O _{2} = \angle O _{1} O _{2} M _{1} = 45 ^\circ이고 ∠O1E1M1=90∘\mathrm{\angle} O _{1} E _{1} M _{1} = 90 ^\circ이므로 두 삼각형 O1E1O2\mathrm{O} _{1} E _{1} O _{2}, O1E1M1\mathrm{O} _{1} E _{1} M _{1}은 모두 직각이등변삼각형이고 O1E1‾=E1O2‾=E1M1‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} E _{1}}} = {\overline{E _{1} O _{2}}} = {\overline{E _{1} M _{1}}}=1= 1이다. 직각삼각형 O1H1A2\mathrm{O} _{1} H _{1} A _{2}에서 O1A2‾2\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} A _{2}}} ^{2}=O1H1‾2+H1A2‾2\displaystyle = \mathrm{\overline{O _{1} H _{1}}} ^{2} + \mathrm{\overline{H _{1} A _{2}}} ^{2}, 22=(1+E1H1‾)2+12\displaystyle 2 ^{2} = \left( 1 + \overline{\mathrm{E} _{1} H _{1}} \right) ^{2} + 1 ^{2}이므로 E1H1‾=3−1\displaystyle \overline{\mathrm{E} _{1} H _{1}} = \sqrt{3} - 1 또, △O1E1F1\mathrm{\triangle} O _{1} E _{1} F _{1}∽\backsim△O1H1A2\mathrm{\triangle} O _{1} H _{1} A _{2}에서 O1E1‾:O1H1‾=E1F1‾:H1A2‾\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} E _{1}}} : {\overline{O _{1} H _{1}}} = {\overline{E _{1} F _{1}}} : {\overline{H _{1} A _{2}}}이고 H1A2‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{H} _{1} A _{2}} = 1이므로 1:3=E1F1‾:1\displaystyle 1 : \sqrt{3} = \mathrm{\overline{E _{1} F _{1}}} : 1에서 D1F1‾\displaystyle \mathrm{\overline{D _{1} F _{1}}}=2E1F1‾\displaystyle = \mathrm{2} {\overline{E _{1} F _{1}}}=233\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3} 사각형 A2F1D1C1\mathrm{A} _{2} F _{1} D _{1} C _{1}은 사다리꼴이므로 S1S _{1}=12×(D1F1‾+C1A2‾)×E1H1‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \mathrm{\overline{D _{1} F _{1}}} + {\overline{C _{1} A _{2}}} \right) \times {\overline{E _{1} H _{1}}} =12×(233+2)×(3−1)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \right) \times \left( \sqrt{3} - 1 \right)=233\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

OnAn‾=rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}}}} = r _{n}, On+1An+1‾=rn+1\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}} = r _{n + 1}이라 하면 OnMn‾=OnOn+1‾=22rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{n}}}}} = {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} r _{n}이고 OnEn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{E} \mathit{\mathrm{_{n}}}}}=EnOn+1‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{E} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}}=EnMn‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{E} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{M} \mathit{\mathrm{_{n}}}}}=12rn\displaystyle = \frac{1}{2} r _{n}이다. 직각삼각형 OnHnAn+1{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{H}} _{n} {\mathrm{A}} _{n + 1}에서 OnAn+1‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}} ^{2}=OnHn‾2+HnAn+1‾2\displaystyle = {\overline{{\mathrm{O}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}}} ^{2} + {\overline{{\mathrm{H}} _{n} {\mathrm{A}} _{n + 1}}} ^{2}이므로 rn2r _{n} ^{2}=(12rn+rn+1)2+(12rn)2\displaystyle = \left( \frac{1}{2} r _{n} + r _{n + 1} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} r _{n} \right) ^{2}에서 rn+1=3−12rn\displaystyle r _{n + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} r _{n} 그러므로 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}이고 공비가 (3−12)2\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ^{2}=1−32\displaystyle = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}=2331−(1−32)\displaystyle = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}=43\displaystyle = \frac{4}{3}

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#등비급수#도형#닮음비

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