미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 접선 삼각형 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 33인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}안에 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}이고 반지름의 길이가 33인 부채꼴 BCA\mathrm{BCA}가 있다. 호 AC\mathrm{AC} 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선이 선분 CD\mathrm{CD}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 선분 BP\mathrm{BP}의 연장선이 선분 CD\mathrm{CD}와 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. ∠PBC=θ\mathrm{\angle} PBC = \theta일 때, 삼각형 PQR\mathrm{PQR}의 넓이를 f(θ)f \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→0+8f(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{8 f \left( \theta \right)}{\theta ^{3}}}의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

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9

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 삼각형 BPQ\mathrm{BPQ}와 삼각형 BCQ\mathrm{BCQ}는 서로 합동이므로 ∠QBC=θ2\displaystyle \angle \mathrm{QBC} = \frac{\theta}{2}이고 PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}=QC‾\displaystyle = \mathrm{\overline{QC}}=3tan⁡θ2\displaystyle = 3 \tan \frac{\theta}{2} 직각삼각형 RPQ\mathrm{R} PQ에서 ∠RQP=θ\angle \mathrm{R} QP = \theta이므로 PR‾\displaystyle \overline{\mathrm{P} R}=PQ‾tanθ\displaystyle = \overline{\mathrm{P} Q} {\mathrm{t} an} \theta=3tanθ2tanθ\displaystyle = 3 {\mathrm{t} an} \frac{\theta}{2} {\mathrm{t} an} \theta f(θ)f ( \theta )=12×PQ‾×PR‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{P} Q} \times \overline{\mathrm{P} R} =12×3tan⁡θ2×3tanθ2tanθ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \tan \frac{\theta}{2} \times 3 {\mathrm{t} an} \frac{\theta}{2} {\mathrm{t} an} \theta=92tan⁡2θ2tan⁡θ\displaystyle = \frac{9}{2} \mathrm{\tan} ^{2} \frac{\theta}{2} \tan \theta 따라서 lim⁡θ→0+8f(θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{8 f ( \theta )}{\theta ^{3}}}=lim⁡θ→0+36tan⁡2θ2tan⁡θθ3\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{36 \mathrm{\tan} ^{2} \frac{\theta}{2} \tan \theta}{\theta ^{3}}=9= 9

태그

#삼각함수 극한#도형

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