대수삼각함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부채꼴 호의 길이

문제

그림과 같이 중심각의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}에서 선분 OA\mathrm{OA}를 3:13 : 1로 내분하는 점을 P\mathrm{P}, 선분 OB\mathrm{OB}를 1:21 : 2로 내분하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이가 43\displaystyle 4 \sqrt{3}일 때 호 AB\mathrm{AB}의 길이는? [3점]

①53π\displaystyle \frac{5}{3} \pi②2π2 \pi③73π\displaystyle \frac{7}{3} \pi④83π\displaystyle \frac{8}{3} \pi⑤3π3 \pi

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④

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해설

부채꼴 OAB\mathrm{OAB}의 반지름의 길이를 rr이라 하면 OP‾=34r\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \frac{= \mathit{3}}{4} r, OQ‾=13r\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \frac{1}{3} \mathit{r} 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이가 43\displaystyle 4 \sqrt{3}이므로 12×34r×13r×sin⁡π3=316r2=43\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} r \times \frac{1}{3} r \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{16} r ^{2} = 4 \sqrt{3}, r=8r = 8 따라서 호의 길이는 8×π3=83π\displaystyle 8 \times \frac{\pi}{3} = \frac{8}{3} \pi

태그

#삼각형의 넓이#부채꼴

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