기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부채꼴 호 위 벡터 보기

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OAB\mathrm{O} AB가 있다. 호 AB\mathrm{A} B 위를 움직이는 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q에 대하여 [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

[보기] ㄱ. ∣OP⃗+OQ⃗∣\mathrm{|} \vec{OP} + \vec{OQ} |의 최솟값은 2\displaystyle \sqrt{2}이다. ㄴ. ∣OP⃗−OQ⃗∣\mathrm{|} \vec{OP} - \vec{OQ} |의 최댓값은 2\displaystyle \sqrt{2}이다. ㄷ. OP⃗⋅OQ⃗\mathrm{\vec{OP}} {\cdot} \vec{OQ}의 최댓값은 11이다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

∠POQ=θ\mathrm{\angle} POQ = \theta라 할 때 ㄱ. 참 ∣O⃗P+O⃗Q∣=12+12−2cos⁡(π−θ)\displaystyle | \vec{\mathrm{O}} P + \vec{\mathrm{O}} Q | = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \cos ( \pi - \theta )}=12+12+2cos⁡θ≥2\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2} + 2 \cos \theta} \geq \sqrt{2} ㄴ. 참 ∣O⃗P−O⃗Q∣=12+12−2cos⁡θ≤2\displaystyle | \vec{\mathrm{O}} P - \vec{\mathrm{O}} Q | = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \cos \theta} \leq \sqrt{2} ㄷ. 참 O⃗P⋅O⃗Q=cos⁡θ≤1\vec{\mathrm{O}} P \cdot \vec{\mathrm{O}} Q = \cos \theta \leq 1 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

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