부채꼴 호 길이 급수

그림과 같이 원점 $\mathrm{O}$를 지나고 기울기가 $\tan \theta$인 직선 $l$과 점 ${\mathrm{A}} _{1} ( 0 , 3 )$이 있다. 점 $\mathrm{O}$를 중심으로 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} _{1}$을 반지름으로 하는 원과 직선 $l$이 만나는 점을 ${\mathrm{B}} _{1}$이라 하자. ${\mathrm{B}} _{1}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선 $l _{1}$이 $x$축과 만나는 점을 ${\mathrm{C}} _{1}$이라 하고, 직선 $l _{1}$위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC} _{1}} = \overline{\mathrm{B} _{1} A _{2}}$가 되는 점 ${\mathrm{A}} _{2}$를 잡는다. 점 $\mathrm{B} _{1}$을 중심으로 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} A _{2}}$를 반지름으로 하는 원과 직선 $l$이 만나는 점을 ${\mathrm{B}} _{2}$라 하자. ${\mathrm{B}} _{2}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선 $l _{2}$가 $x$축과 만나는 점을 ${\mathrm{C}} _{2}$라 하고, 직선 $l _{2}$위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{1} C _{2}} = \overline{\mathrm{B} _{2} A _{3}}$이 되는 점 ${\mathrm{A}} _{3}$을 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부채꼴 $\mathrm{B} _{\mathit{n} - 1} B _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}$의 호의 길이를 $\frown {\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frown {\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}}} = 9 \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}$의 값은? $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$단, $\displaystyle \left. 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right.$이고 $\mathrm{B} _{\mathit{0}}$은 원점이다.$\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$ [4점]

①$\displaystyle \sqrt{3}$②$2$③$\displaystyle \sqrt{5}$④$\displaystyle \sqrt{6}$⑤$\displaystyle \sqrt{7}$