부채꼴 호 길이 급수

그림과 같이 반지름의 길이가 $4$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $A _{0} A _{1} B _{1}$이 있다. 점 $A _{1}$에서 선분 $A _{0} B _{1}$에 내린 수선의 발을 $B _{2}$라 하고, 선분 $A _{0} A _{1}$위의 $\displaystyle \overline{A _{1} B _{2}} = \overline{A _{1} A _{2}}$인 점 $A _{2}$에 대하여 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $A _{1} A _{2} B _{2}$를 그린다. 점 $A _{2}$에서 선분 $A _{1} B _{2}$에 내린 수선의 발을 $B _{3}$이라 하고, 선분 $A _{1} A _{2}$위의 $\displaystyle \overline{A _{2} B _{3}} = \overline{A _{2} A _{3}}$인 점 $A _{3}$에 대하여 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $A _{2} A _{3} B _{3}$을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 $A _{n}$에서 선분 $A _{n - 1} B _{n}$에 내린 수선의 발을 $B _{n + 1}$이라 하고, 선분 $A _{n - 1} A _{n}$위의 $\displaystyle \overline{A _{n} B _{n + 1}} = \overline{A _{n} A _{n + 1}}$인 점 $A _{n + 1}$에 대하여 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$인 부채꼴 $A _{n} A _{n + 1} B _{n + 1}$을 그린다. 부채꼴 $A _{n - 1} A _{n} B _{n}$의 호 $A _{n} B _{n}$의 길이를 $l _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}$의 값은? [3점]

①$\displaystyle \left( 4 - \sqrt{2} \right) \pi$②$\displaystyle \left( 2 + \sqrt{2} \right) \pi$③$\displaystyle \left( 2 + 2 \sqrt{2} \right) \pi$④$\displaystyle \left( 4 + \sqrt{2} \right) \pi$⑤$\displaystyle \left( 4 + 2 \sqrt{2} \right) \pi$