미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 도형 급수

문제

중심이 O\mathrm{O}, 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 그림과 같이 호 AB\mathrm{AB}를 이등분하는 점을 M\mathrm{M}이라 하고 호 AM\mathrm{AM}과 호 MB\mathrm{MB}를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1\mathrm{R} _{1}에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi인 부채꼴을 그리고 이 부채꼴에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①2π−332\displaystyle \frac{2 \pi - 3 \sqrt{3}}{2}②π−23\displaystyle \frac{\pi - \sqrt{2}}{3}③2π−323\displaystyle \frac{2 \pi - 3 \sqrt{2}}{3}④π−32\displaystyle \frac{\pi - \sqrt{3}}{2}⑤2π−233\displaystyle \frac{2 \pi - 2 \sqrt{3}}{3}

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④

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해설

처음 직사각형의 넓이=CD‾×CG‾\displaystyle = \mathrm{\overline{CD}} \times \overline{CG} CE‾=sin⁡π6=12,CD‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} , \mathrm{\overline{CD}} = 1 △FOG\triangle \mathrm{FOG}에서 OG‾=12cos⁡ecπ3=33\displaystyle \mathrm{\overline{OG}} = \frac{1}{2} \cos ec \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} ∴OG‾=CG‾(∵∠COG=∠GCO=π6)\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{OG}} = \overline{CG} \left( \because \angle COG = \angle GCO = \frac{\pi}{6} \right) ∴S1=12×1×1×23π−1×33=π−33\displaystyle \therefore S _{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \frac{2}{3} \pi - 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi - \sqrt{3}}{3} FN‾\displaystyle \mathrm{\overline{FN}}과 OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}는 평행하므로 닮음인 두 도형의 길이의 비는 OH‾:FG‾=cos⁡π6:sin⁡π6=1:13\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} : \overline{FG} = \cos \frac{\pi}{6} : \sin \frac{\pi}{6} = 1 : \frac{1}{\sqrt{3}}이므로 닮음인 두 도형의 넓이의 비는 1:13\displaystyle 1 : \frac{1}{3}이다. 즉, 공비는 13\displaystyle \frac{1}{3}이다. ∴lim⁡n→∞Sn=π−331−(13)=π−32\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{\pi - \sqrt{3}}{3}}{1 - \left( \frac{1}{3} \right)} = \frac{\pi - \sqrt{3}}{2}

태그

#무한등비급수#도형

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