미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 도형 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11인 원에 중심각의 크기가 60∘60 ^\circ이고 반지름의 길이가 11인 부채꼴을 서로 겹치지 않게 44개 그린 후 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림1][ \text{그림} 1 ]이라 하자. [그림1][ \text{그림} 1 ]에서 색칠되지 않은 각 부채꼴에 두 반지름과 호에 모두 접하도록 원을 그린다. 새로 그린 각 원에 중심각의 크기가 60∘60 ^\circ이고 반지름의 길이가 새로 그린 원의 반지름의 길이와 같은 부채꼴을 서로 겹치지 않게 44개씩 그린 후 새로 그린 원의 내부와 새로 그린 부채꼴의 외부에 공통으로 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 [그림2][ \text{그림} 2 ]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①715π\displaystyle \frac{7}{15} \pi②815π\displaystyle \frac{8}{15} \pi③35π\displaystyle \frac{3}{5} \pi④23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi⑤1115π\displaystyle \frac{11}{15} \pi

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③

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해설

삼각비에의하여(rn−rn+1:rn+1)=2:1이므로\text{삼각비에} \text{의하여} ( r _{n} - r _{n + 1} : r _{n + 1} ) = 2 : 1 \text{이므로} rn+1=13rn,r1=1\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{3} r _{n} , r _{1} = 1 rn=13n−1→Sn=(13n−1)2⋅4n−1π=π3(49)n−1\displaystyle r _{n} = \frac{1}{3 ^{n - 1}} \rightarrow S _{n} = \left( \frac{1}{3 ^{n - 1}} \right) ^{2} \cdot 4 ^{n - 1} \pi = \frac{\pi}{3} \left( \frac{4}{9} \right) ^{n - 1} lim⁡n→∞Sn=π31−49=35π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{1 - 4}{9}} = \frac{3}{5} \pi ∴35π\displaystyle \therefore \frac{3}{5} \pi

태그

#등비급수#도형

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