확률과 통계이항정리수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부분집합 순서쌍 빈칸

문제

전체집합 U={x∣xU = \left\{ x \right| x는 1010 이하의 자연수}\left. \right\}의 세 부분집합 S1S _{1}, S2S _{2}, S3S _{3}이 n(S1)≥3n \left( S _{1} \right) \geq 3, S1⊂S2⊂S3S _{1} \subset S _{2} \subset S _{3} 을 만족시킨다. 다음은 집합 S1S _{1}, S2S _{2}, S3S _{3}의 모든 순서쌍 (S1,S2,S3)\left( S _{1} , S _{2} , S _{3} \right)의 개수를 구하는 과정이다.

n(S1)=kn \left( S _{1} \right) = k(3≤k≤103 \leq k \leq 10, kk는 자연수)인 집합 S1S _{1}의 개수는 전체집합 UU의 원소 1010개 중 서로 다른 kk개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 10Ck{} _{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}}이다. 또한 S1⊂S2⊂S3S _{1} \subset S _{2} \subset S _{3}이므로 집합 S1S _{1}에 속하지 않는 원소는 세 집합 S2−S1S _{2} - S _{1}, S3−S2S _{3} - S _{2}, U−S3U - S _{3} 중 어느 한 집합에 속해야 한다. 그러므로 n(S1)=kn \left( S _{1} \right) = k일 때 집합 S1S _{1}, S2S _{2}, S3S _{3}의 순서쌍 (S1,S2,S3)\left( S _{1} , S _{2} , S _{3} \right)의 개수는 10Ck×□(가)\left. {} _{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \right.이다. 따라서 n(S1)≥3n \left( S _{1} \right) \geq 3, S1⊂S2⊂S3S _{1} \subset S _{2} \subset S _{3}을 만족시키는 순서쌍 (S1,S2,S3)\left( S _{1} , S _{2} , S _{3} \right)의 개수는 이항정리에 의하여 ∑k=310(10Ck×□(가))\displaystyle \left. \sum\limits _{k = 3} ^{10} \mathrm{\left( {} _{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \right)} \right.=410−□(나)×38= 4 ^{10} - \left. {\square {( \text{나} ) _{} ^{}}} \right. \times 3 ^{8}

위의 (가)에 알맞은 식을 f(k)f \left( k \right), (나)에 알맞은 수를 aa라 할 때, a+f(8)a + f \left( 8 \right)의 값을 구하시오. [4점]

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93

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해설

[출제의도] 이항정리를 활용하여 경우의 수 추론하기 n(S1)=kn \left( S _{1} \right) = k(3≤k≤103 \leq k \leq 10, kk는 자연수)인 집합 S1S _{1}의 개수는 전체집합 UU의 원소 1010개 중 서로 다른 kk개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 10Ck{} _{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}}이다. 또한 S1⊂S2⊂S3S _{1} \subset S _{2} \subset S _{3}이므로 집합 S1S _{1}에 속하지 않는 원소는 세 집합 S2−S1S _{2} - S _{1}, S3−S2S _{3} - S _{2}, U−S3U - S _{3} 중 어느 한 집합에 속해야 한다. 집합 S1S _{1}에 속하지 않는 (10−k)\left( 10 - k \right)개의 원소가 세 집합 S2−S1S _{2} - S _{1}, S3−S2S _{3} - S _{2}, U−S3U - S _{3} 중 어느 한 집합의 원소가 되도록 정하는 경우의 수는 서로 다른 세 개에서 중복을 허락하여 (10−k)\left( 10 - k \right)개를 선택하는 중복순열의 수 3∏10−k=310−k\displaystyle {} _{3} \mathrm{\prod} _{10 - \mathit{k}} = 3 ^{10 - \mathit{k}}과 같다. 그러므로 n(S1)=kn \left( S _{1} \right) = k일 때 집합 S1S _{1}, S2S _{2}, S3S _{3}의 순서쌍 (S1,S2,S3)\left( S _{1} , S _{2} , S _{3} \right)의 개수는 10Ck×{} _{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times□310−k\left. {\square {3 ^{10 - k}}} \right.이다. 따라서 n(S1)≥3n \left( S _{1} \right) \geq 3, S1⊂S2⊂S3S _{1} \subset S _{2} \subset S _{3}을 만족시키는 순서쌍 (S1,S2,S3)\left( S _{1} , S _{2} , S _{3} \right)의 개수는 이항정리에 의하여 ∑k=310(10Ck×□310−k)\displaystyle \sum\limits _{k = 3} ^{10} \left( {} _{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times {\square {3 ^{10 - \mathit{k}}}} \right)=∑k=31010Ck×1k×310−k\displaystyle = \sum\limits _{\mathit{k} = 3} ^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times 1 ^{\mathit{k}} \times 3 ^{10 - \mathit{k}} =∑k=01010Ck×1k×310−k−∑k=0210Ck×1k×310−k\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times 1 ^{\mathit{k}} \times 3 ^{10 - \mathit{k}} - \sum\limits _{\mathit{k} = 0} ^{2} \mathrm{_{10}} C _{\mathit{k}} \times 1 ^{\mathit{k}} \times 3 ^{10 - \mathit{k}} =(1+3)10−(310+10×39+45×38)= \left( 1 + 3 \right) ^{10} - \left( 3 ^{10} + 10 \times 3 ^{9} + 45 \times 3 ^{8} \right) =410−□84×38= 4 ^{10} - {\square {84}} \times 3 ^{8} 따라서 f(k)=310−kf \left( k \right) = 3 ^{10 - k}이고 a=84a = 84이므로 a+f(8)=84+9=93a + f \left( 8 \right) = 84 + 9 = 93 <참고> ∑k=01010Ck×1k×310−k\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{\mathit{k}} \times 1 ^{\mathit{k}} \times 3 ^{10 - \mathit{k}} =10C0×10×310+10C1×11×39+⋯+10C10×110×30= _{10} \mathrm{C} _{0} \times 1 ^{0} \times 3 ^{10} + _{10} \mathrm{C} _{1} \times 1 ^{1} \times 3 ^{9} + \cdots + _{10} \mathrm{C} _{10} \times 1 ^{10} \times 3 ^{0} =(1+3)10= \left( 1 + 3 \right) ^{10}

태그

#이항정리#부분집합#빈칸 추론

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